Fatti

L'assicurato, nato nel 1996, ha svolto un apprendistato come meccanico di produzione AFC (dal 12 agosto 2013 all'11 agosto 2016). Nel dicembre 2016 si è annunciato all'assicurazione per l'invalidità per il rilevamento precoce, segnalando una schizofrenia paranoide (primo episodio psicotico) e un soggiorno clinico presso la Clinica [C.] a partire dal 5 dicembre 2016.

L'UAI Svitto ha assunto i costi per un training di riattivazione presso la Fondazione [D.] per l'assicurato (inizialmente dal 16 agosto 2018 al 15 febbraio 2019, prolungato fino al 15 agosto 2019), nonché le indennità giornaliere. Dopo una nuova ospedalizzazione (dal 16 al 25 luglio 2019) la misura è stata interrotta con effetto dal 16 luglio 2019. Le indennità giornaliere sono state versate fino a tale data.

Con comunicazione del 27 novembre 2019 l'UAI ha nuovamente assunto i costi per un training di riattivazione presso la Fondazione [E.] (dal 25 novembre 2019 al 24 maggio 2020), comprensivi di indennità giornaliere.

Con decisione del 13 gennaio 2021, dopo la procedura di preavviso, l'UAI ha riconosciuto una rendita intera d'invalidità a partire dal 1° maggio 2020. Nella procedura di ricorso l'assicurato ha chiesto una rendita a partire dal 1° novembre 2017. Il Tribunale amministrativo del Cantone di Svitto ha respinto il ricorso con sentenza del 17 maggio 2021.

Davanti al Tribunale federale l'assicurato ha chiesto l'annullamento della decisione cantonale e il versamento della rendita a partire dal 1° novembre 2017. L'UAI ha chiesto la reiezione del ricorso; l'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a presentare una risposta.

Oggetto della lite è esclusivamente l'inizio del diritto alla rendita (1° maggio 2020 secondo l'istanza precedente e l'UAI; 1° novembre 2017 secondo l'assicurato).

Diritto

Il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile secondo gli art. 95 e 96 LTF. Il Tribunale federale applica il diritto d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF), esamina tuttavia soltanto le censure di violazione del diritto sollevate (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF) e fonda il suo giudizio sull'accertamento dei fatti compiuto dall'istanza precedente (art. 105 cpv. 1 LTF), salvo che si applichi un'eccezione ai sensi dell'art. 105 cpv. 2 LTF.

Secondo l'art. 28 cpv. 1 LAI sussiste un diritto alla rendita se la persona assicurata non può ristabilire, conservare o migliorare la propria capacità di guadagno mediante misure d'integrazione ragionevolmente esigibili, è stata inabile al lavoro in misura di almeno il 40 % per un anno e successivamente è invalida in misura di almeno il 40 %. Ai sensi dell'Art. 29 LPGA il diritto nasce al più presto sei mesi dopo la richiesta e non finché può essere percepita un'indennità giornaliera secondo l'art. 22 LAI.

L'istanza precedente ha accertato che i referti della clinica del 23 gennaio e del 27 marzo 2017 nonché la perizia del dott. med. [F.] dell'11 aprile 2018 dimostrano la capacità d'integrazione dell'assicurato e che provvedimenti professionali sono fortemente indicati. L'UAI poteva quindi a buon diritto partire dalla capacità d'integrazione e considerare determinante per l'inizio della rendita la fine del secondo training di riattivazione.

Il Tribunale federale mantiene il principio 'integrazione prima della rendita': se è verosimilmente possibile un'integrazione, deve essere disposta anzitutto una misura. Una rendita può essere riconosciuta prima della conclusione delle misure d'integrazione (eventualmente con effetto retroattivo) solo se la persona assicurata, per il suo stato di salute, non era o non era ancora in grado di essere integrata (DTF 121 V 190). Ciò vale anche per le misure d'integrazione (art. 8 cpv. 3 lett. abis e art. 14a LAI nonché art. 4quater segg. OAI) e anche quando le misure producono soltanto un successo parziale o falliscono. Diversamente vale soltanto per le misure d'accertamento che dimostrano l'assenza di capacità d'integrazione.

I due training di riattivazione (dal 16 agosto…