Fatti

Parti e istanze: Il ricorrente ([A.] , rappresentato dall'avv. Peter Nideröst) abita una casa unifamiliare a schiera a Zurigo. La controparte ([B. GmbH] , rappresentata dall'avv. Dr. Silvan Hauser) ha acquistato l'immobile il 19 novembre 2019. Le istanze precedenti erano il Tribunale distrettuale di Zurigo (giudice unico Audienz) e il Tribunale superiore del Cantone di Zurigo, II Camera civile.

Fatti: Il 10/19 agosto 2019 il ricorrente e l'allora proprietario [C.C.] hanno stipulato un contratto denominato 'Gebrauchsleihe-Vertrag' (contratto di comodato) sull'uso temporaneo dell'immobile. In esso si stabiliva che non era dovuta alcuna pigione e che la concessione era gratuita; il ricorrente si assumeva i costi dell'uso e la manutenzione ordinaria. Egli ha però versato mensilmente Fr. 200.--. Con il contratto di compravendita del 19 novembre 2019 il contratto di comodato è stato trasferito alla controparte ai sensi dell'art. 261 cpv. 1 CO. Quest'ultima ha disdetto il 30 novembre 2019 ordinariamente per il 23 dicembre 2019 (o, secondo interpretazione, per il 30 dicembre 2019) e il 30 dicembre 2019 straordinariamente con effetto immediato.

Procedura: Il 10 gennaio 2020 la controparte ha chiesto al Tribunale distrettuale lo sfratto nella procedura di cui all'art. 257 CPC (tutela giuridica nei casi chiari). Era controverso se sussistesse un contratto di locazione (art. 253 segg. CO) o un comodato (art. 305 segg. CO). Il Tribunale distrettuale ha accolto la domanda il 27 febbraio 2020. Il ricorrente ha impugnato la decisione il 14 aprile 2020 come 'appello ed eventualmente ricorso'; il Tribunale superiore l'ha trattata come ricorso, ha conferito effetto sospensivo e ha respinto il ricorso il 15 maggio 2020. Il Tribunale superiore ha fissato il valore litigioso dapprima a Fr. 7'200.--, successivamente a Fr. 1'200.--; il Tribunale distrettuale aveva ammesso Fr. 5'550.--.

Conclusioni davanti al Tribunale federale: Con ricorso in materia civile e ricorso sussidiario di diritto costituzionale il ricorrente chiede l'annullamento della sentenza del Tribunale superiore e la non entrata nel merito sulla domanda di sfratto, in via subordinata il rinvio. Il Tribunale federale ha ordinato in via cautelare il 28 maggio 2020 che siano sospesi i provvedimenti esecutivi. La controparte ha chiesto il rigetto della domanda di effetto sospensivo. Nel merito non sono state chieste determinazioni.

Diritto

Decisione finale e valore litigioso (art. 74 cpv. 1 LTF): La sentenza del Tribunale superiore è una decisione finale (art. 90 LTF) di un'istanza precedente ai sensi dell'art. 75 LTF. Il ricorso in materia civile in cause patrimoniali presuppone un valore litigioso di Fr. 15'000.-- in cause di diritto del lavoro e di locazione (lett. a), rispettivamente di Fr. 30'000.-- in tutti gli altri casi (lett. b). Le parti erano discordi sul valore litigioso. Decisivo è anzitutto se sussista una causa di locazione; le controversie derivanti dal comodato non vi rientrano. Secondo la giurisprudenza è certamente sufficiente che l'esistenza di un contratto di locazione sia controversa (fatti a doppia rilevanza), ma occorre discostarsene se l'esposizione dei fatti appare a prima vista fallace o incoerente.

Qualificazione come comodato: Nel caso in esame non sussiste chiaramente un contratto di locazione. Decisiva è la onerosità: il comodato è necessariamente gratuito (art. 305 CO), la locazione necessariamente onerosa (art. 253 CO). Le istanze precedenti hanno accertato che le parti hanno espressamente pattuito 'nessuna pigione' e la gratuità. Il pagamento di Fr. 200.-- al mese sarebbe un contributo forfettario alle spese ai sensi dell'art. 307 cpv. 1 CO, che non incide sulla gratuità. Le obiezioni del ricorrente riguardano l'accertamento dei fatti e non sono sufficientemente motivate (art. 105 cpv. 2 LTF); anche la sua censura di violazione del diritto di essere sentito critica l'accertamento dei fatti. La denominazione del contratto e la ripresa quasi letterale dell'art. 309 cpv. 2 CO depongono inoltre per un comodato.

Valore litigioso ed esclusione del ricorso in materia civile: Poiché non sussiste una causa di locazione, vale il limite generale di Fr. 30'000.--. Esso non è raggiunto indipendentemente dal metodo di calcolo. Il calcolo inizialmente proposto dal ricorrente (Fr. 200.-- x 12 x 20 ai sensi dell'art. 92 cpv. 2 CPC) non è stato mantenuto ed è irrilevante per l'interesse allo sfratto. In mancanza di altri indizi di un valore litigioso più elevato (art. 51 cpv. 2 LTF), resta determinante la fissazione dell'istanza precedente, ovvero le indicazioni non contestate. Una questione di diritto di importanza fondamentale (art. 74 cpv. 2 lett. a LTF) non è stata sufficientemente motivata (art. 42 cpv. 2 seconda frase LTF): il ricorrente non ha indicato né una rilevante incertezza giuridica né un bisogno di chiarimento. Anche l'argomento secondo cui la non entrata nel merito comporterebbe svantaggi processuali non costituisce un motivo eccezionale. Il ricorso in materia civile è pertanto inammissibile.

Ricorso sussidiario di diritto…