Fatti

Parti e giurisdizione: Il ricorrente, [A.] , è stato assunto come geologo senior dalla filiale ginevrina di [B.] Limited (la società, la datrice di lavoro) a partire dal 1° settembre 2006, poi promosso direttore tecnico (livello 26 della scala interna). Era subordinato al direttore tecnico per l'Africa. Il suo stipendio annuo lordo ammontava a 369'500 fr., ai quali si aggiungevano un bonus e prestazioni del piano LTIP.

Contesto di ristrutturazione: Dal 2015 circolavano voci di licenziamento. Il 16 settembre 2015 la società ha annunciato la soppressione di settanta posti a Ginevra, poi ha proposto un programma di partenza volontaria il 22 settembre 2015, di cui il ricorrente era destinatario.

Download controversi: Dopo la denuncia di un dipendente sospettato di download, la società ha attivato, il 17 e 18 settembre 2015, un allarme quotidiano per ogni download superiore a 1 GB al giorno per utente. Il 30 settembre 2015 il ricorrente figurava in testa agli elenchi dei dipendenti che avevano scaricato il maggior numero di file su periferiche esterne: 91'982 file (182,8 GB), di cui 54'800 file professionali (circa 85 GB), scaricati in particolare il 6-7 settembre 2015. Le direttive della società (22 ottobre 2014 sulla sicurezza delle informazioni, 20 maggio 2015 sull'utilizzo dei computer e della posta elettronica, e direttiva non datata sulle periferiche esterne) vietavano i download massicci o di dati sensibili senza autorizzazione.

Audizioni: Sentito il 1° ottobre 2015, il ricorrente ha ammesso il download, che presentava come un backup del suo disco M contenente foto personali, e ha riconosciuto di non aver chiesto alcuna autorizzazione. È stato sospeso lo stesso giorno con effetto immediato. Si è poi trovato in incapacità totale di lavoro a partire dal 2 ottobre 2015. Nel corso della seconda audizione del 6 ottobre 2015 ha ammesso di aver scaricato anche la cartella «presentazione» del disco condiviso R, adducendo un lavoro di retrospettiva su cinque anni, poi ha menzionato progetti di vacanza per lavorare alla presentazione; queste spiegazioni sono variate nel corso della procedura.

Licenziamento: Il 9 ottobre 2015 la società ha licenziato il ricorrente con effetto immediato, per attività recente di download costituente una grave violazione di diverse direttive, rischio di danni e di responsabilità nei confronti di terzi. La lettera, ricevuta il 13 ottobre 2015, è stata inviata per raccomandata dopo il rifiuto di firmare. Un rapporto finale di audit, non datato, ha concluso per l'assenza di una valida giustificazione professionale e per la presenza di informazioni sensibili che potevano costituire un rischio.

Procedura cantonale: Il 24 marzo 2016 il ricorrente ha adito il Tribunale dei probiviri di Ginevra, chiedendo in particolare circa 4,66 milioni di franchi (salari, vacanze, indennità ai sensi dell'art. 337c cpv. 3 CO e risarcimento danni) e un certificato di lavoro dettagliato. Il 20 dicembre 2017 il tribunale ha ordinato la modifica del certificato e respinto le altre conclusioni. Il 3 giugno 2019 la Camera dei probiviri della Corte di giustizia di Ginevra ha respinto l'appello, ritenendo un giusto motivo reale e valido, una reazione non tardiva e la possibilità di disdire immediatamente anche durante un periodo di protezione contro i licenziamenti.

Ricorso al Tribunale federale: Il ricorrente conclude principalmente per l'annullamento della sentenza e il rinvio alla corte cantonale; in via subordinata, riprende le sue conclusioni pecuniarie, eccetto quella relativa alla riparazione morale, e chiede misure probatorie. La convenuta conclude per il rigetto del ricorso.

Diritto

Ammissibilità e quadro dell'esame: Il ricorso in materia civile è ammissibile in linea di principio (valore litigioso minimo di 15'000 fr., art. 74 cpv. 1 lett. a LTF; termine dell'art. 100 cpv. 1 LTF). Le conclusioni preliminari volte alla produzione di documenti da parte della controparte sono inammissibili perché nuove (art. 99 cpv. 2 LTF) e urtano contro il divieto di mezzi di prova nuovi (art. 99 cpv. 1 LTF). Il Tribunale federale statuisce sulla base dei fatti accertati dalla corte cantonale (art. 105 cpv. 1 LTF) e corregge soltanto gli accertamenti manifestamente inesatti, cioè arbitrari (art. 105 cpv. 2 LTF). Il ricorrente, che riprende i fatti su una decina di pagine come in un atto di petizione, non soddisfa il principio rigoroso dell'allegazione (art. 106 cpv. 2 LTF); le sue allegazioni non sono prese in considerazione.

Censure di procedura: Il rifiuto della corte cantonale di ammettere i documenti 132 e 133 come cosiddetti nova impropri non viola l'art. 317 cpv. 1 CPC. Spetta alla parte che invoca tali nova dimostrare di aver agito con la diligenza richiesta (art. 317 cpv. 1 lett. b CPC), cosa che il ricorrente non ha fatto in appello. Il rifiuto di ordinare la produzione di ulteriori documenti non viola né l'art. 316 CPC né l'art. 8 CC: la corte cantonale ha ritenuto che tali documenti non fossero pertinenti o che il fascicolo consentisse un apprezzamento anticipato delle prove. Potrebbe essere fatta valere solo l'arbitrarietà, che il ricorrente non invoca.

Giusti motivi ai sensi dell'art. 337 CO: La disdetta immediata è una misura eccezionale, applicata in modo restrittivo. Solo una violazione particolarmente grave, oggettivamente idonea a distruggere il rapporto di fiducia o a scuoterlo così profondamente da non poter esigere la continuazione del rapporto di lavoro, può giustificarla (art. 337 cpv. 2 e 3 CO). Il giudice apprezza liberamente, considerando la posizione del lavoratore, la natura e la durata del rapporto, nonché la gravità delle violazioni. Il motivo del licenziamento attiene al fatto, mentre la questione se esso costituisca un giusto motivo attiene al diritto. La disdetta deve intervenire senza indugio: un termine di riflessione di due o tre giorni lavorativi è in linea di principio ammesso, con eventuali proroghe giustificate dalle esigenze pratiche, e il termine non decorre finché la portata delle violazioni non è accertata.

Motivo del licenziamento e assenza di arbitrarietà: Il motivo ritenuto dalla corte cantonale, cioè il download di un volume considerevole di dati riservati su un supporto esterno privato, senza autorizzazione né giustificazione professionale, in violazione delle direttive, non è affetto da arbitrarietà. La lettera di licenziamento e la risposta della convenuta invocano un motivo identico. L'argomento secondo cui il motivo sarebbe stato chiarito tardivamente o sostituito con l'accusa di furto del 7 ottobre 2015 è respinto. Gli accertamenti sull'assenza di incompatibilità di carattere come motivo reale non sono arbitrari.

Realtà delle violazioni: Il download di 54'800 file professionali costituisce senza dubbio un download massiccio ai sensi della direttiva del 20 maggio 2015, anche tenendo conto di eventuali…