Fatti

I coniugi [A.A.] e [B.A.] nata [C.] sono domiciliati a [U.] /BE. Nel 2011, il marito, che lavora come avvocato tributario non autonomo, ha ricevuto una premio di fedeltà di Fr. yyy. I coniugi hanno sostenuto nella dichiarazione delle imposte del 2011 che si trattava di un acquisto di ricchezza esente da imposte. L'amministrazione fiscale del Cantone di Berna era di opinione contraria e ha computato l'importo controverso nel reddito, sia ai fini dell'imposta federale diretta che delle imposte cantonali e comunali del Cantone di Berna.

Contro le decisioni di tassazione del 2011 del 16 luglio 2014, i coniugi, rappresentati dal marito, hanno presentato un'opposizione. Hanno chiesto che la premio di fedeltà fosse considerata come (esente da imposte) donazione, in subordine come indennità di capitale per prestazioni periodiche. Con decisioni del 14 gennaio 2015, l'amministrazione fiscale ha respinto le opposizioni. I ricorsi presentati alla Commissione di ricorso fiscale del Cantone di Berna sono stati infruttuosi.

Circa tre settimane prima della notificazione della decisione, il 7 gennaio 2016, il marito ha subito un infarto. Dallo stesso giorno fino al 6 febbraio 2016, si è trovato in ospedale, successivamente fino al 27 febbraio 2016 in una clinica di riabilitazione. Secondo un certificato medico del 29 febbraio 2016, l'invalidità lavorativa totale e dovuta a malattia (inizialmente) è durata fino al 31 marzo 2016.

Il 23 marzo 2016, il marito ha presentato al Tribunale amministrativo del Cantone di Berna una richiesta di ripristino dei termini di ricorso e ha presentato un ricorso contro la decisione di opposizione del 29 gennaio 2016. Il Presidente della Sezione di diritto amministrativo come giudice unico ha respinto le richieste di ripristino dei termini con decisione 100.2016.84/85 del 15 aprile 2016 e non ha preso in considerazione i ricorsi.

Legge

Il Tribunale federale deve esaminare il ricorso in materia di diritto pubblico contro la decisione del Tribunale amministrativo del Cantone di Berna del 15 aprile 2016. Il ricorso è diretto contro il rigetto delle richieste di ripristino dei termini e la declaratoria di inammissibilità dei ricorsi contro la decisione di opposizione del 29 gennaio 2016.

Il Tribunale federale ha stabilito che il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile, poiché sono soddisfatte le condizioni di cui all'art. 82 lett. a, art. 83, art. 86 cpv. 1 lett. d e 2, art. 89 cpv. 1, art. 90 e art. 100 cpv. 1 LTF.

Il Tribunale federale ha inoltre stabilito che l'autorità inferiore ha rappresentato correttamente le disposizioni giuridiche applicabili. Secondo queste, su un ricorso tardivo in una questione di imposta diretta a un tribunale amministrativo cantonale si può procedere solo se il contribuente, da un lato, dimostra di essere stato impedito di presentare il ricorso tempestivamente a causa del servizio militare o civile, di malattia, di…