Sachverhalt

Am 25. März 2005 verkaufte Y. den Eheleuten A.X. und B.X., britischen Staatsbürgern, die Parzelle Nr. x, Plan z des kommunalen Katasters von Z. Am 5. April 2005 beantragten die Käufer die Bewilligung für den Erwerb dieses unbebauten Grundstücks von 851 m2. Am 12. April 2006 teilte der Rechtsdienst des Grundbuchamtes des Kantons Wallis ihnen mit, dass diese Bewilligung nur erteilt werden könne, wenn sie sich verpflichteten, innerhalb von zwei Jahren ein Ferienchalet zu bauen.

Am 11. Januar 2008 gründete A.X. mit einem Dritten die Gesellschaft mit beschränkter Haftung C. Sàrl, mit Sitz in D. Durch einen Arbeitsvertrag vom 28. Januar 2008 mit unbestimmter Dauer stellte diese Gesellschaft A.X. als Verkaufsleiter mit einer Arbeitszeit von 50 %, einem monatlichen Nettoeinkommen von 2'500 Fr., zwei Tagen Urlaub pro Woche und vier Wochen Urlaub im Jahr ein.

Zu einem unbekannten Zeitpunkt beantragte A.X. bei der Abteilung für Bevölkerung und Migration des Kantons Wallis eine Grenzgängerbewilligung CE/AELE (Bewilligung G). Aus den beigelegten Unterlagen geht hervor, dass die vorerwähnte Gesellschaft mit beschränkter Haftung gegründet wurde, um zur Entwicklung der Aktivitäten der englischen Gesellschaft C. Limited beizutragen, die seit 1991 besteht.

Am 27. Mai 2008 kam das Amt für Grundbuch und Geomatik zu dem Schluss, dass der Erwerb der vorerwähnten Parzelle durch A.X. nicht dem Bewilligungsregime unterlag, das durch das Bundesgesetz über den Erwerb von Grundstücken durch Personen im Ausland festgelegt wurde. Es stützte sich auf Art. 7 Buchst. j BewG, der bestimmt, dass Staatsangehörige der Mitgliedstaaten der Europäischen Gemeinschaft, die als Grenzgänger eine Zweitwohnung in der Region ihres Arbeitsortes erwerben, nicht diesem Regime unterliegen.

Erwägungen

Das Verwaltungsgericht prüfte den Begriff des Grenzgängers im Sinne des Abkommens über die Freizügigkeit der Personen und von Art. 7 Buchst. j BewG. Es kam zu dem Schluss, dass die Definition der grenzüberschreitenden Arbeitnehmer, die die vorherige Behörde verwendet hatte, nicht mehr der ab dem 1. Juni 2007 für die Staatsangehörigen der alten Mitgliedstaaten der Europäischen Gemeinschaft geltenden Regelung entsprach.

Das Gericht war der Auffassung, dass das charakteristische Element des Begriffs «Grenzgänger» darin besteht, dass die betreffende Person regelmäßig - mindestens einmal pro Woche - zwischen ihrem Wohnsitz und ihrem Arbeitsort pendelt. Es kam zu dem Schluss, dass…