Fatti

La convenuta, una AG, è proprietaria del fondo n. 3455 nel registro fondiario di Ermatingen (TG). Il 3 marzo 2017 ha presentato una domanda di costruzione per una casa unifamiliare. Il Comune politico di Ermatingen l'ha respinta il 4 settembre 2017, dopo la valutazione del sia-Gestaltungsbeirat e la presa di posizione dell'Ufficio per la tutela dei monumenti. Il ricorso di quest'ultima contro tale decisione è pendente.

Il 31 ottobre 2017 la convenuta ha presentato una nuova domanda di costruzione per un progetto rielaborato. I tre ricorrenti, vicini del fondo, hanno proposto opposizione. Dopo che l'Ufficio per la tutela dei monumenti non ha più sollevato obiezioni, il Comune ha concesso il permesso di costruzione il 22 gennaio 2018 con oneri e ha respinto le opposizioni. Il ricorso è stato respinto dal Dipartimento delle costruzioni e dell'ambiente del Cantone Turgovia (DBU) l'11 settembre 2018. Il Tribunale amministrativo del Cantone Turgovia ha respinto il ricorso il 17 aprile 2019; ha inoltre rinviato le censure di diritto privato per immissioni eccessive (art. 684 CC) alla via civile, con un termine di 30 giorni, presso l'ufficio del giudice di pace di Kreuzlingen.

I ricorrenti hanno proposto ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale, chiedendo l'annullamento di tutte e tre le decisioni e il rigetto della domanda di costruzione. L'autorità inferiore e il DBU hanno chiesto il rigetto; il Comune ha rinunciato a presentare osservazioni. La convenuta ha chiesto il rigetto, nella misura in cui il ricorso sia ammissibile, e la conferma della decisione precedente, ad eccezione del punto 4 del dispositivo. L'Ufficio federale della cultura (UFC) ha rilevato che il permesso rientra nel margine di apprezzamento cantonale o comunale.

Il Tribunale federale ha inoltre chiarito le proroghe dei termini secondo il § 122 LTV/TG: il termine di adeguamento del regolamento edilizio è stato dapprima prorogato fino al 31 dicembre 2019 e successivamente fino al 31 dicembre 2021.

Le questioni controverse riguardavano in particolare: la violazione del diritto di essere sentito a causa di una sagoma errata (art. 29 cpv. 2 Cost.); l'inapplicabilità degli art. 12 segg. LPN a costruzioni all'interno della zona edificabile; l'applicazione arbitraria del § 104, del § 105 e del § 61 LPA/TG nonché del § 121 LTV/TG (diritto transitorio); l'applicazione del metodo di misurazione dell'altezza degli edifici; l'applicazione arbitraria del § 10 LPN/TG (protezione dell'immagine locale, integrazione, sistemazione dell'ambiente circostante).

Diritto

Il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile contro la decisione finale cantonale in materia edilizia, pronunciata in ultima istanza (art. 82 lett. a, art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2, art. 90 LTF). I ricorrenti, in quanto vicini e destinatari, sono legittimati ai sensi dell'art. 89 cpv. 1 LTF. Il ricorso è ammissibile, ma la domanda di annullamento delle decisioni del DBU e del Comune è inammissibile: esse sono state sostituite dalla decisione del Tribunale amministrativo (effetto devolutivo) e sono considerate impugnate unitamente ad essa (art. 1.2 con rinvio al DTF 136 II 539 e 134 II 142).

Quanto alla censura di violazione del diritto di essere sentito (art. 29 cpv. 2 Cost.) per la mancata visualizzazione del secondo progetto, il Tribunale federale ha rilevato che le dimensioni risultavano senza difficoltà dalla sagoma del primo progetto, poiché la differenza consisteva solo nella posizione del piano attico di 2.3 m. Le sagome servono a rendere visibile il progetto; l'esame dei dettagli avviene sulla base dei piani pubblicamente depositati. Non è stato ravvisato alcun pregiudizio giuridico, per cui non sussiste violazione.

Con riferimento alla legge sulla protezione della natura e del paesaggio (art. 12b LPN), il Tribunale federale ha chiarito che l'inserimento di una costruzione nell'ISOS non comporta che la sua tutela diventi un compito federale (DTF 135 II 209). Per i permessi di costruzione nelle zone edificabili ai sensi degli art. 22 segg. LPT, gli art. 12 segg. LPN non sono applicabili; pertanto la pubblicazione nel Foglio ufficiale era corretta.

Quanto all'applicazione arbitraria del diritto cantonale, il Tribunale federale ha illustrato i criteri: una decisione è arbitraria solo se la motivazione e il risultato sono manifestamente insostenibili (art. 9 Cost., DTF 144 IV 136). Le censure devono essere qualificate e motivate in modo evidente; la critica appellatoria è inammissibile (DTF 137 V 57, 136 II 489).

Riguardo all'opposizione di diritto privato (§ 104 e § 105 LTV/TG, art. 684 CC), l'autorità inferiore ha ritenuto che il § 104 LTV/TG fosse contrario al diritto federale e ha rinviato i ricorrenti alla via civile, per analogia con il § 105 cpv. 1 LTV/TG, con un termine di 30 giorni. Il Tribunale federale ha escluso l'arbitrio: il Comune e il DBU avevano ritenuto conforme al diritto federale il § 104 LTV/TG e avevano giudicato essi stessi l'opposizione di diritto privato; solo l'autorità inferiore ha corretto tale impostazione. La censura incidentale della convenuta contro il punto 4 del dispositivo non è stata esaminata, poiché essa non aveva presentato un proprio ricorso e i ricorsi incidentali sono inammissibili (DTF 145 V 57, 138 V 106). Anche la censura relativa al § 61 LPA/TG (divieto della reformatio in peius) è stata respinta dal Tribunale federale, poiché le censure di diritto privato erano già contenute nella domanda di annullamento della decisione del DBU. Una violazione del diritto di essere sentito per mancata audizione sulla fissazione del termine non sussiste, trattandosi di una questione di applicazione del diritto (DTF 132 II 485).

Riguardo al diritto transitorio (§ 121 LTV/TG), il Tribunale federale ha rilevato che tale disposizione riguarda solo le domande di costruzione presentate prima del 1° gennaio 2013. La presente domanda è stata presentata nell'autunno 2017,…