Fatti
La società immobiliare [B. AG] (opponente) è proprietaria di fondi in un comparto di circa 58'000 m2 situato al Rosenberg a San Gallo, edificato in prevalenza con costruzioni e impianti della scuola privata 'Institut auf dem Rosenberg'. La particella n. W1950, situata a nord-est, è ancora non edificata.
Il Comune politico di San Gallo ha emanato un piano di utilizzazione 'Sporthalle Institut auf dem Rosenberg' (PU Sporthalle), che doveva consentire la costruzione di una nuova palestra e garantire l'accesso alla particella W1950, il che richiedeva un dissodamento del bosco. L'Ufficio forestale ha rilasciato l'autorizzazione di dissodamento il 14 gennaio 2014. Come misura compensativa erano previsti 1'000 m2 di strutture arbustive indigene sulla particella W1950, da fissare nel piano di utilizzazione speciale. L'autorizzazione prevedeva che decadesse se il dissodamento non fosse stato eseguito entro la fine del 2016. I ricorsi contro l'autorizzazione sono stati respinti in ultima istanza (sentenza del Tribunale amministrativo del 22 novembre 2017, cresciuta in giudicato).
Su richiesta dell'opponente del 15 maggio 2018, l'Ufficio forestale cantonale ha prorogato il termine per l'esecuzione del dissodamento fino alla fine del 2021 e quello per la compensazione del dissodamento fino alla fine del 2022.
Il Consiglio comunale ha avviato il 30 giugno 2015 la procedura per il piano di utilizzazione 'Institut auf dem Rosenberg' (PU Rosenberg). Il ricorrente [A.] , in qualità di proprietario di un fondo confinante a nord con la particella W1950, ha presentato opposizione, che è stata respinta. Il ricorso al Dipartimento edilizio è stato respinto con decisione del 7 giugno 2018. Il Tribunale amministrativo del Cantone di San Gallo ha accolto il ricorso del 20 maggio 2019 solo parzialmente, limitatamente alla ripartizione delle spese processuali della procedura di ricorso, e lo ha respinto per il resto.
Dinanzi al Tribunale federale il ricorrente ha chiesto di annullare la decisione dell'istanza inferiore e di non approvare il PU Rosenberg. Gli eredi della ricorrente deceduta in corso di causa [D.] si sono ritirati dal procedimento. Con decreto presidenziale del 16 luglio 2019 è stata respinta la domanda di effetto sospensivo. Il Tribunale amministrativo e il Consiglio comunale hanno chiesto la reiezione del ricorso, così come l'opponente.
Oggetto della lite sono essenzialmente: la conformità alla zona e l'arbitrio in caso di deroghe alla costruzione regolare (art. 23 lett. b BauG), la qualità di confinante e il diritto di essere sentito (art. 29 cpv. 2 BauG), l'obbligo di coordinamento (art. 25a LPT) e la validità della proroga dell'autorizzazione di dissodamento (art. 5 cpv. 5 LFo).
Diritto
Il ricorso in materia di diritto pubblico contro la decisione cantonale di ultima istanza sull'approvazione di un piano di utilizzazione è in linea di principio ammissibile (art. 82 segg. LTF). Il ricorrente, in qualità di proprietario di un fondo confinante e di parte del procedimento, è legittimato a ricorrere (art. 89 cpv. 1 LTF). La censura di violazione del diritto federale, compreso il divieto dell'arbitrio (art. 9 Cost.), è ammissibile; le censure di diritti fondamentali sono soggette al rigoroso principio di allegazione (art. 106 cpv. 2 LTF). Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto e considera l'accertamento di fatto dell'istanza inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF).
L'obbligo di motivazione ai sensi dell'art. 29 cpv. 2 Cost. è rispettato, poiché la decisione indica le considerazioni essenziali e può essere impugnata in modo adeguato. L'istanza inferiore ha giustamente ritenuto che l'emanazione di due piani coordinati tra loro per la rapida realizzazione della palestra fosse ammissibile e opportuna.
Quanto alla conformità alla zona ai sensi dell'art. 11 e dell'art. 23 lett. b BauG: le deroghe alla costruzione regolare non possono svuotare di significato l'ordinamento di base, fondato su basi pianificatorie e democratiche (DTF 135 II 209). Il ricorrente non spiega perché una scuola-convitto non possa essere considerata un'attività artigianale non molesta in zona residenziale, e non dimostra in modo sufficiente la prassi cantonale asserita, limitandosi a rinviare agli atti giudiziari dell'istanza inferiore. Una censura di arbitrio non è sufficientemente motivata in questa misura. La censura è respinta.
Quanto alla qualità di confinante ai sensi dell'art. 29 cpv. 2 BauG: sono confinanti i proprietari fondiari il cui fondo non si trova a più di 30 metri dal perimetro del piano. Il ricorrente è confinante solo rispetto al PU Rosenberg, ma non rispetto al PU Sporthalle e all'autorizzazione di dissodamento, poiché il suo fondo si trova a più di 30 metri dal perimetro pianificatorio o di dissodamento in quel punto. Solo il PU Rosenberg ha determinato la collocazione concreta del rimboschimento compensativo. Una violazione del diritto di essere sentito è quindi esclusa, e la questione di una sanatoria non si pone. Ciò vale anche per il PU Sporthalle.
Quanto all'obbligo di coordinamento ai sensi dell'art. 25a LPT: il principio dell'unità della decisione edilizia e il dovere di coordinamento materiale esigono una visione d'insieme quando parti del progetto non possono essere valutate in modo…