Fatti

Il ricorrente, richiedente l'asilo, ha presentato domanda d'asilo in Svizzera il 28 settembre 2022 dichiarando di essere nato il 15 aprile 2005. Con decisione del 13 febbraio 2023 la Segreteria di Stato della migrazione (SEM) ha non entrato nel merito della domanda e ne ha disposto l'allontanamento verso la Bulgaria. Nel Sistema d'informazione centrale sulla migrazione (ZEMIS) era registrata come data di nascita il 1° gennaio 2004, con annotazione di contestazione.

Il Tribunale amministrativo federale ha respinto il ricorso contro la non entrata nel merito e l'allontanamento con sentenza del 30 marzo 2023, precisando che la modifica dei dati nello ZEMIS sarebbe stata valutata in un procedimento separato.

Nel procedimento in materia di protezione dei dati, con decisione incidentale del 17 aprile 2023 la giudice istruttrice ha respinto la domanda di patrocinio a spese dello Stato, ha fissato un anticipo spese di Fr. 500.-- con un termine di 30 giorni e ha minacciato, in caso contrario, la non entrata nel merito. È stata inoltre respinta una domanda di misura superprovvisionale volta all'iscrizione della data di nascita 15 aprile 2005. A motivazione si è addotto che la minore età non era stata resa verosimile nel procedimento d'asilo e che il ricorso appariva privo di possibilità di successo.

Con ricorso in materia di diritto pubblico del 19 maggio 2023 il ricorrente ha chiesto l'annullamento della decisione incidentale, la concessione del patrocinio a spese dello Stato, la rinuncia all'anticipo spese, in via subordinata il rinvio, nonché, in via cautelare, la sospensione dell'esecuzione del trasferimento in Bulgaria. Il Tribunale amministrativo federale ha chiesto la reiezione del ricorso; la SEM ha rinunciato a presentare osservazioni. Con decreto presidenziale del 15 giugno 2023 il Tribunale federale ha respinto la domanda cautelare, poiché la sospensione dell'allontanamento riguarda il procedimento d'asilo ed esula dall'oggetto della lite.

Questioni centrali: ammissibilità del ricorso contro una decisione incidentale in materia di assistenza giudiziaria gratuita; motivazione sufficiente delle censure di diritti fondamentali (art. 29 cpv. 3 Cost., art. 6 CEDU, art. 8 cpv. 1 Cost.); garanzia dell'accesso al giudice (art. 29a Cost.); imparzialità della giudice.

Diritto

La decisione impugnata concerne in via principale l'iscrizione della data di nascita nello ZEMIS e quindi una controversia di protezione dei dati ovvero di diritto pubblico (art. 82 lett. a e art. 86 cpv. 1 lett. a LTF). L'eccezione di cui all'art. 83 lett. d LTF non trova applicazione, poiché non si tratta di una decisione in materia d'asilo. Si tratta di una decisione incidentale ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF, impugnabile solo se può causare un pregiudizio irreparabile. Ciò è dato con il rifiuto dell'assistenza giudiziaria gratuita, qualora alla persona indigente minacci la perdita della causa (DTF 142 III 798 consid. 2; 129 I 129 consid. 1.1). Il ricorso è in tale misura ammissibile.

Secondo l'art. 42 cpv. 2 LTF, il ricorso deve esporre in modo conciso in che misura il diritto sia stato violato. Le censure di diritti fondamentali sono esaminate solo se motivate in modo qualificato (art. 106 cpv. 2 LTF). La censura di violazione dell'art. 29 cpv. 3 Cost. non è sufficientemente sostanziata, poiché il ricorrente non confuta le considerazioni del Tribunale amministrativo federale sulla mancanza di possibilità di successo contenute nella sentenza del 30 marzo 2023. Anche le censure relative all'art. 6 CEDU, all'art. 8 cpv. 1 Cost. (uguaglianza giuridica), all'art. 3 CEDU e al bene del minore non soddisfano i requisiti, poiché non è indicato alcun concreto svantaggio né una separazione illecita dei procedimenti.

La censura di violazione della garanzia dell'accesso al giudice (art. 29a Cost.) è infondata. L'art. 29a Cost. garantisce il diritto al giudizio di un…