Fatti

La ricorrente, un'assicurata nata nel 1969, rappresentata da un avvocato, chiedeva prestazioni dell'assicurazione invalidità. L'UAI del Cantone di Zugo ha negato il diritto alle prestazioni con decisioni del 31 maggio 2001 e del 6 settembre 2010, nonché infine con decisione del 29 maggio 2015. Il Tribunale amministrativo del Cantone di Zugo ha respinto il ricorso proposto contro di essa con sentenza del 18 febbraio 2016. Il Tribunale federale ha parzialmente accolto il ricorso con sentenza 8C_262/2016 del 22 settembre 2016 e ha rinviato la causa per l'assunzione di una perizia giudiziaria supplementare e per una nuova decisione.

Il Tribunale amministrativo ha quindi acquisito la perizia psichiatrica supplementare dell'11 febbraio 2019 e ha offerto alle parti la possibilità di pronunciarsi. Nella sua presa di posizione del 26 giugno 2019, la ricorrente ha contestato l'idoneità della perizia quale base decisionale e ha chiesto espressamente lo svolgimento di un'udienza pubblica, in via subordinata l'assunzione di una perizia supplementare. A sostegno, ha affermato che il perito dovrebbe essere sentito in occasione dell'udienza e che il pubblico dovrebbe apprendere come l'UAI l'avesse sorvegliata.

Il Tribunale amministrativo ha respinto il ricorso con sentenza del 26 settembre 2019 senza tenere un'udienza pubblica. Ha motivato ciò affermando che la domanda mirava principalmente all'assunzione di prove e contrastava con l'interesse pubblico a una rapida definizione della procedura; inoltre la domanda sarebbe decaduta.

Con ricorso in materia di diritto pubblico, la ricorrente ha chiesto l'annullamento della decisione dell'istanza precedente e il rinvio per lo svolgimento di una procedura conforme al diritto. La controparte e il tribunale cantonale hanno chiesto la reiezione. L'Ufficio federale delle assicurazioni sociali ha rinunciato a presentare osservazioni.

Oggetto della controversia era stabilire se il tribunale cantonale avesse violato l'art. 6 n. 1 CEDU non tenendo un'udienza pubblica nonostante la domanda esplicita.

Diritto

Il ricorso in materia di diritto pubblico è ammissibile ai sensi degli art. 82 segg. LTF; possono essere fatte valere violazioni del diritto secondo gli art. 95 e 96 LTF. La ricorrente lamenta, sotto il profilo formale, la violazione dell'art. 6 n. 1 CEDU per il rifiuto di un'udienza pubblica.

Ai sensi dell'art. 6 n. 1 CEDU, ogni persona ha diritto a una pubblica udienza davanti a un tribunale indipendente, qualora siano controverse pretese di diritto civile. Nel caso di specie si tratta di pretese di prestazioni dell'assicurazione invalidità, che sono considerate pretese di diritto civile. In presenza di una domanda di parte chiara e inequivocabile, il tribunale cantonale deve in linea di principio tenere un'udienza pubblica; una domanda presentata durante il normale scambio di scritti è tempestiva.

Un'udienza pubblica richiesta può essere omessa solo se la domanda è chicanatoria, abusiva o dilatoria, se il ricorso è manifestamente infondato o inammissibile, se la materia è altamente tecnica (ad esempio in presenza di sole questioni di calcolo) o se il giudice intende accogliere la richiesta della parte istante sulla base degli atti. La valutazione di perizie mediche non rientra di regola nelle eccezioni tecniche.

Il Tribunale federale rileva che nella sua presa di posizione del 26 giugno 2019 la ricorrente ha espressamente chiesto un'udienza pubblica. Vero è che una parte della motivazione era rivolta all'audizione del perito e quindi all'assunzione di una prova, per la quale il principio di pubblicità non garantisce un diritto. La ricorrente ha però anche fatto valere che il pubblico dovrebbe apprendere delle misure di sorveglianza. Non si trattava pertanto di una domanda rivolta esclusivamente all'assunzione di…