Fatti

Il 25 marzo 2005, Y. ha venduto ai coniugi A.X. e B.X., cittadini britannici, la parcelle n° x, piano z del catasto comunale di Z. Il 5 aprile 2005, gli acquirenti hanno richiesto l'autorizzazione all'acquisto di questo immobile non edificato di 851 m2. Il 12 aprile 2006, il Servizio giuridico del registro fondiario del cantone del Vallese li ha informati che tale autorizzazione poteva essere loro rilasciata solo se si impegnassero a costruire un chalet di vacanza entro due anni.

L'11 gennaio 2008, A.X. ha costituito con un terzo la società a responsabilità limitata C. Sàrl, con sede a D. Con contratto di lavoro a tempo indeterminato del 28 gennaio 2008, questa società ha assunto A.X. come responsabile commerciale, con un tasso di attività del 50%, uno stipendio mensile netto di 2'500 fr., due giorni di congedo alla settimana e quattro settimane di vacanza annuale.

In data indeterminata, A.X. ha richiesto al Servizio della popolazione e delle migrazioni del cantone del Vallese di rilasciargli un'autorizzazione frontaliere CE/AELE (permesso G). Risulta dalle pièce fornite a sostegno di questa richiesta che la società a responsabilità limitata sopracitata è stata fondata per contribuire allo sviluppo delle attività della società inglese C. Limited, che esiste dal 1991.

Il 27 maggio 2008, il Servizio dei registri fondiari e della geomatica ha stimato che l'acquisto della parcelle sopracitata da parte di A.X. non era soggetto al regime dell'autorizzazione stabilito dalla legge federale sull'acquisto di immobili da parte di persone all'estero. Si è basato sull'art. 7 lett. j LAFE, disposizione ai sensi della quale i cittadini degli Stati membri della Comunità europea che, in quanto frontalieri, acquistano una residenza secondaria nella regione del loro luogo di lavoro, non sono soggetti a questo regime.

Legge

La Corte di diritto pubblico ha esaminato la nozione di frontaliero ai sensi dell'accordo sulla libera circolazione delle persone e dell'art. 7 lett. j LAFE. Ha considerato che la definizione dei lavoratori salariati frontalieri adottata dall'autorità precedente non era più conforme alla normativa vigente a partire dal 1° giugno 2007 per i cittadini degli ex Stati membri della Comunità europea.

La Corte ha stimato che l'elemento caratteristico della nozione di « frontaliero » è che l'interessato si sposta regolarmente - ovvero almeno una volta alla settimana - tra la sua residenza e il suo luogo di lavoro.…