Fatti
Il convenuto, proprietario dell'immobile Gbbl. Nr. xxx, intendeva ristrutturarlo, dividerlo in unità abitative e venderlo ai clienti finali. Ottenne il 20 marzo 2003 un permesso di costruire, che minacciava di scadere nel marzo 2007. Nell'autunno 2006, il convenuto entrò per la prima volta in contatto con la [B. AG] (attrice). Il 15 febbraio 2007, le parti firmarono un accordo con il seguente contenuto: la [B. AG] elaborò per il progetto 'Ristrutturazione [L.] ' un progetto di ristrutturazione con stima dei costi sulla base di un'offerta.
Il progetto venne presentato per un procedimento di modifica del permesso di costruire e servì come base per la creazione di un'offerta generale di appalto. I costi di costruzione approssimativi ammontavano, secondo una prima stima, a circa Fr. 4 milioni (più/meno Fr. 150'000.00). Se l'offerta generale di appalto superava questo limite di costo, l'accordo era considerato nullo. La [B. AG] si impegnò, dopo la presentazione dell'offerta generale di appalto definitiva, a eseguire il progetto al prezzo forfettario.
Se, dopo l'ottenimento del permesso di costruire per l'oggetto sopra menzionato, non si giungeva a un accordo di appalto generale tra le parti, i piani del progetto e i calcoli dei costi relativi al prezzo forfettario di Fr. 150'000.00 passavano in proprietà di Herr [A.] .
Il 14 dicembre 2007, l'attrice presentò ai coniugi [A.] un'offerta generale di appalto per la costruzione di un nuovo edificio pronto per l'occupazione al prezzo forfettario di Fr. 4'150'000.--; la validità dell'offerta era limitata a 60 giorni. Non vennero sollevate obiezioni o rilievi formali entro il termine di validità dell'offerta.
Il 9 giugno 2008, l'attrice inviò al convenuto la fattura per le spese sostenute in base all'accordo del 15 febbraio 2007.
Il Tribunale regionale Berna-Campagna accolse la domanda e condannò il convenuto al pagamento delle spese processuali e di risarcimento a favore dell'attrice. Il convenuto presentò appello al Tribunale superiore del Canton Berna.
Con decisione del 21 dicembre 2011, il Tribunale superiore annullò la decisione del Tribunale regionale Berna-Campagna dell'8 aprile 2011 e dispose che quest'ultimo dovesse incaricare un perito di valutare se la descrizione del progetto del 6 dicembre 2007 e le prestazioni indicate nella stima dei costi del 14 dicembre 2007 relative al progetto '[L.] ' corrispondessero o meno allo standard minimo di un progetto per un edificio pronto per l'occupazione.
Il Tribunale superiore del Canton Berna, con decisione del 9 settembre 2013, accolse la domanda e condannò il convenuto a pagare all'attrice Fr. 150'000.-- più interessi e annullò il provvedimento di sequestro nella procedura di esecuzione n. yyy dell'Ufficio di esecuzione Berna-Campagna.
Legge
Il Tribunale federale ha unito i ricorsi nei procedimenti 4A_523/2013 e 4A_527/2013 e li ha trattati in una sola sentenza. Il convenuto sostiene che il giudice di secondo grado non abbia esaminato le sue argomentazioni in modo sufficientemente approfondito e abbia stabilito i fatti in modo errato, violando il…