Fatti

Il cittadino giamaicano (nato nel 1982) è sposato con una cittadina polacca e ha con lei tre figli. La famiglia è entrata insieme in Svizzera il 9 maggio 2016, dove la moglie e i figli sono titolari di un diritto di soggiorno. La moglie ha presentato nel maggio 2016 una domanda di ricongiungimento familiare, che ha ritirato nell'ottobre 2017 a causa della separazione. Il Tribunale civile di Basilea Città ha confermato la vita separata il 17 settembre 2018.

Il 27 marzo 2018 il ricorrente ha chiesto un permesso di dimora nel Cantone di Basilea Città. L'Ufficio della migrazione ha respinto la domanda il 28 ottobre 2019 e ha fissato un termine di partenza fino al 24 novembre 2019. Contro questa decisione egli ha proposto ricorso al Dipartimento di giustizia e sicurezza e ha chiesto in via provvisionale l'accertamento che potesse esercitare un'attività lucrativa dipendente durante la procedura di ricorso, in via subordinata l'autorizzazione a tal fine. Il Dipartimento ha respinto la domanda con decisione incidentale del 13 novembre 2019. Il Tribunale d'appello di Basilea Città, quale tribunale amministrativo, ha confermato tale decisione con sentenza del 27 aprile 2020 (VD.2019.231) e ha concesso il patrocinio a spese dello Stato.

Il ricorrente ha proposto il 9 giugno 2020 ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale. Ha chiesto l'annullamento della sentenza e l'accertamento del suo diritto di esercitare un'attività lucrativa durante la procedura di ricorso, in via subordinata un'autorizzazione, in via ulteriormente subordinata il rinvio. Ha inoltre chiesto il patrocinio a spese dello Stato e l'assistenza di un avvocato d'ufficio. Il Tribunale d'appello e il Dipartimento di giustizia e sicurezza hanno chiesto la reiezione.

Davanti al Tribunale federale era controversa esclusivamente la questione se le istanze precedenti abbiano legittimamente vietato al ricorrente di esercitare un'attività lucrativa durante la procedura di ricorso. Il soggiorno in Svizzera durante la procedura non era vietato.

Diritto

Il Tribunale federale è entrato nel merito del ricorso in materia di diritto pubblico contro la decisione incidentale concernente misure provvisionali (art. 82 lett. a, art. 83 lett. c n. 2, art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LTF). Il ricorrente ha invocato in modo sostenibile un diritto di soggiorno, fondato tra l'altro sull'Art. 8 Cost.. Il ricorso contro la decisione incidentale è ammissibile, poiché minaccia un pregiudizio irreparabile ai sensi dell'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF, che non potrebbe essere eliminato nemmeno da una decisione finale favorevole, segnatamente l'impedimento dell'integrazione professionale. Sebbene il ricorso fosse nel frattempo stato deciso e la misura provvisionale fosse divenuta priva d'oggetto, il Tribunale federale è comunque entrato nel merito.

Trattandosi di una misura provvisionale, può essere fatta valere solo la violazione di diritti costituzionali (art. 98 LTF). Vi rientrano anche i diritti derivanti da convenzioni internazionali in materia di diritti umani; il diritto internazionale è esaminato solo sotto il profilo dell'arbitrio. Le censure devono essere motivate in modo chiaro e dettagliato (art. 106 cpv. 2 LTF). L'oggetto della lite si limitava al divieto di esercitare un'attività lucrativa, poiché il soggiorno durante la procedura non era vietato.

L'istanza precedente ha fondato il divieto essenzialmente su un'applicazione per analogia dell'art. 17 cpv. 1 LStrI, secondo cui uno straniero entrato legalmente solo temporaneamente o soggiornante illegalmente deve attendere la decisione all'estero. Il Tribunale federale ritiene ciò arbitrario: il ricorrente non è entrato per un soggiorno temporaneo, non gli viene rimproverato un soggiorno illegale e, presumibilmente, era autorizzato al soggiorno e all'esercizio di un'attività lucrativa ai sensi dell'art. 3 cpv. 5 All. I ALC. Il suo soggiorno senza autorizzazione, ormai di circa quattro anni e mezzo, è imputabile principalmente alla lunga durata della procedura e quindi alle autorità cantonali. Nell'ambito dell'ALC, l'autorizzazione di soggiorno ha solo carattere dichiarativo. L'applicazione per analogia delle disposizioni sul rinnovo dell'autorizzazione (art. 59 cpv. 2 OASA) appare, alla luce delle particolarità del caso, adeguata, sicché…