Fatti

La ricorrente ha depositato il 7 gennaio 2019 una denuncia presso la Commissione di vigilanza delle professioni sanitarie e dei diritti dei pazienti del Cantone di Ginevra (di seguito: la Commissione di vigilanza) contro una dottoressa che aveva redatto, il 5 novembre 2018, una perizia giudiziaria in una procedura civile riguardante in particolare l'attribuzione dei diritti parentali relativi alla propria figlia minorenne. Riteneva che tale perizia fosse menzognera e nociva per la salute della bambina.

Con lettere del 5 e 19 febbraio 2019, poi del 10 luglio 2019, la Commissione di vigilanza ha indicato che non si pronunciava sulle perizie redatte nell'ambito di procedure aperte da altre autorità, che aveva archiviato la denuncia e che non intendeva tornare sulla propria decisione, poiché la ricorrente contestava le conclusioni della perizia e non un trattamento medico.

Il 15 agosto 2019 la ricorrente ha adito la Corte di giustizia del Cantone di Ginevra, lamentando un diniego di giustizia e chiedendo in particolare l'invalidazione della perizia. Il 19 agosto 2019 ha chiesto l'assistenza giudiziaria per tale procedura. Con decisione del 30 agosto 2019, il Vicepresidente del Tribunale civile del Cantone di Ginevra ha respinto la richiesta, con la motivazione che la causa era priva di prospettive di successo.

Con sentenza del 23 ottobre 2019 (DAAJ/143/2019), il Vicepresidente della Corte di giustizia ha respinto il ricorso contro tale decisione, ritenendo verosimile che il ricorso del 15 agosto 2019 sarebbe stato dichiarato inammissibile.

La ricorrente propone un ricorso in materia di assistenza giudiziaria al Tribunale federale, chiedendo l'annullamento della sentenza, la concessione dell'assistenza giudiziaria e la designazione di un avvocato d'ufficio. Non è stato ordinato alcuno scambio di scritti.

Questione principale: il ricorso cantonale contro l'archiviazione della denuncia era privo di prospettive di successo, in particolare il denunciante ha la qualità di parte e la Commissione di vigilanza deve pronunciarsi su una perizia giudiziaria?

Diritto

Il Tribunale federale esamina l'ammissibilità: la decisione che rifiuta l'assistenza giudiziaria è una decisione incidentale che di principio causa un pregiudizio irreparabile, cosicché il ricorso in materia di diritto pubblico è aperto secondo l'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF. La erronea qualificazione del ricorso da parte della ricorrente non le nuoce. Il ricorso è stato depositato tempestivamente dalla destinataria della sentenza impugnata, che ha la qualità per ricorrere (art. 89 cpv. 1 e 100 cpv. 1 LTF). È quindi ammissibile.

Il Tribunale federale ricorda che applica il diritto d'ufficio, ma esamina la violazione di diritti fondamentali e del diritto cantonale solo se la censura è sollevata e motivata (art. 106 cpv. 2 LTF). Statuisce sulla base dei fatti accertati, non avendo la ricorrente dimostrato che i fatti nuovi e i documenti prodotti sarebbero idonei a influire sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 LTF).

Il diritto all'assistenza giudiziaria deriva dall'art. 29 cpv. 3 Cost., esaminato liberamente, nonché dal diritto cantonale, la cui protezione più estesa non è dimostrata. Una causa è priva di prospettive di successo quando le possibilità di vincere sono notevolmente inferiori ai rischi di perdere. Il ricorso cantonale contro l'archiviazione doveva quindi essere valutato in tale ottica.

Sotto il profilo dell'arbitrio (art. 9 Cost.), l'istanza precedente ha ritenuto, senza arbitrio, che la ricorrente, la quale non aveva alcun legame terapeutico con la dottoressa, non era paziente ai sensi dell'art. 9 LComPS e aveva soltanto la qualità di…