Fatti
[S.] ha lavorato come sarta a domicilio per [A.] dal 1° settembre 1985. Nel 1986 ha realizzato un salario lordo di 20'657 franchi. Successivamente è stata parzialmente o totalmente incapace di lavorare ed è stata messa al beneficio di una rendita d'invalidità completa a partire dal 1° settembre 1988.
[A.], che fino ad allora non era affiliata ad alcuna istituzione di previdenza, ha concluso un contratto di assicurazione collettiva vita a favore del suo personale presso la Fondazione collettiva LPP Vaudoise Assurances (Vaudoise Assurances) con effetto dal 1° maggio 1990. [S.] ha chiesto all'Istituzione supplettiva LPP (l'istituzione supplettiva) di pagarle una rendita d'invalidità, ma quest'ultima ha rifiutato, ritenendo che fosse l'istituzione di previdenza del precedente datore di lavoro dell'interessata a dover versare le prestazioni legali.
[S.] ha quindi adito il Tribunale delle assicurazioni del Cantone di Vaud, chiedendo principalmente che Vaudoise Assurances le versi una rendita d'invalidità LPP e, in via subordinata, che lo faccia l'istituzione supplettiva.
Legge
Il Tribunale delle assicurazioni ha accolto la domanda contro Vaudoise Assurances, ritenendo che l'art. 11 LPP stabilisca un'affiliazione sussidiaria all'istituzione supplettiva solo quando il datore di lavoro non si è affiliato volontariamente a un'istituzione di previdenza. Tuttavia, nel caso di specie, il datore di lavoro è stato affiliato a Vaudoise Assurances a partire dal 1990, tale affiliazione essendo retroattiva ai sensi dell'art. 11 cpv. 3 LPP.
Tuttavia, il Tribunale federale delle assicurazioni ritiene che, ai sensi degli artt. 12 e 60 cpv.…