Sachverhalt

Die Eheleute [A.A.] und [B.A.] geb. [C.] sind in [U.] /BE wohnhaft. Im Jahr 2011 empfing der Ehemann, der als unselbständig erwerbender Steuerrechtsanwalt tätig ist, eine arbeitsrechtliche Treueprämie in Höhe von Fr. yyy. Die Eheleute vertraten in der Steuererklärung 2011 die Auffassung, es handle sich dabei um einen steuerfreien Vermögenszugang. Die Steuerverwaltung des Kantons Bern war gegenteiliger Ansicht und rechnete den streitbetroffenen Betrag im Einkommen auf, dies sowohl für die Zwecke der direkten Bundessteuer als auch der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Bern.

Gegen die Veranlagungsverfügungen 2011 vom 16. Juli 2014 erhoben die Eheleute, handelnd durch den Ehemann, Einsprache. Sie beantragten, die Treueprämie sei als (steuerfreie) Schenkung, eventualiter als Kapitalabfindung für wiederkehrende Leistungen zu erfassen. Mit Entscheiden vom 14. Januar 2015 wies die Steuerverwaltung die Einsprachen ab. Die dagegen gerichteten Beschwerden an die Steuerrekurskommission des Kantons Bern blieben erfolglos.

Rund drei Wochen vor der Zustellung des Entscheides, am 7. Januar 2016, erlitt der Ehemann einen Herzinfarkt. Vom selben Tag bis zum 6. Februar 2016 befand er sich im Spital, anschliessend bis zum 27. Februar 2016 in einer Rehabilitationsklinik. Einem Arztzeugnis vom 29. Februar 2016 zufolge dauerte die hundertprozentige, krankheitsbedingte Arbeitsunfähigkeit (zunächst) bis zum 31. März 2016 an.

Am 23. März 2016 stellte der Ehemann beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Gesuche um Wiederherstellung der Beschwerdefristen und erhob er Beschwerden gegen den Einspracheentscheid vom 29. Januar 2016. Der Präsident der Verwaltungsrechtlichen Abteilung als Einzelrichter wies die Fristwiederherstellungsgesuche mit Entscheid 100.2016.84/85 vom 15. April 2016 ab und trat auf die Beschwerden nicht ein.

Erwägungen

Das Bundesgericht hat die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 15. April 2016 zu prüfen. Die Beschwerde richtet sich gegen die Abweisung der Fristwiederherstellungsgesuche und die Nichtigerklärung der Beschwerden gegen den Einspracheentscheid vom 29. Januar 2016.

Das Bundesgericht hat zunächst festgestellt, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist, da die Voraussetzungen von Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG erfüllt sind.

Das Bundesgericht hat weiter festgestellt, dass die Vorinstanz die einschlägigen rechtlichen Bestimmungen zutreffend wiedergibt. Danach ist auf eine verspätete Beschwerde in einer direktsteuerlichen Angelegenheit an ein kantonales Verwaltungsgericht nur einzutreten, wenn die steuerpflichtige Person einerseits nachweist, dass sie durch Militär- oder Zivildienst, Krankheit, Landesabwesenheit oder andere erhebliche Gründe an der rechtzeitigen Einreichung…