Fatti
I ricorrenti sono [A.] , un calciatore di [U.] (ricorrente 1), e il sindacato dei calciatori [B.] (ricorrente 2), membro della FIFPRO dal 2011. La convenuta è la FIFA, un'associazione di diritto svizzero con sede a Zurigo.
Il 9 dicembre 2016 la commissione d'urgenza della federazione calcistica nazionale di [U.] (nFA) ha modificato la composizione della nFA National Dispute Resolution Chamber (nFA NDRC), ha revocato gli arbitri in carica e ha nominato nuovi arbitri scelti dalla federazione. La FIFPRO ha contestato tale decisione il 14 dicembre 2016. Il 7 febbraio 2017 si è svolta una riunione con la partecipazione di UEFA, ECA, European Leagues, FIFPRO, nFA e gruppi di interesse, in cui è stata concordata la ripartizione dei sei posti liberi di arbitro tra calciatori e società. Il sindacato dei calciatori [B.] ha quindi designato tre persone per la nuova lista di arbitri, tra cui [C.] .
Il 15 agosto 2018 [C.] , in qualità di arbitro unico della nFA NDRC, ha stabilito che la disdetta del contratto di lavoro da parte del calciatore [A.] nei confronti della società [D.] era ammissibile. Il 3 settembre 2018 il presidente della nFA NDRC ha disposto un riesame. Il 4 settembre 2018 un nuovo organo ha dichiarato nulla la decisione e ha fissato una nuova udienza principale; il 14 settembre 2018 ha deciso che il calciatore non aveva validamente risolto il contratto. Il calciatore, la cui registrazione presso la nuova società non era stata approvata, è rimasto disoccupato. Il 2 novembre 2018 la commissione d'urgenza ha revocato [C.] .
Il 29 marzo e il 9 dicembre 2019 la FIFPRO e i ricorrenti hanno presentato reclamo alla commissione disciplinare della FIFA, chiedendo l'avvio di un procedimento disciplinare contro la federazione nazionale. Il 7 febbraio 2020 la FIFA ha comunicato che la FIFPRO, in quanto denunciante, non era parte del procedimento e che mancava la legittimazione attiva. Il 26 marzo 2020 la commissione disciplinare ha aperto un procedimento contro la nFA, concluso il 4 maggio 2020. I ricorrenti non sono stati informati, poiché non erano considerati parti. Una domanda di motivazione è stata respinta il 20 luglio 2020.
I ricorrenti hanno proposto appelli al TAS per denegata giustizia (CAS 2020/A/6921 e CAS 2020/A/2797, poi riuniti). Con lodo del 4 ottobre 2021 il TAS ha respinto gli appelli. Ha ritenuto che la qualità di parte e la legittimazione attiva spettino soltanto ai titolari del diritto controverso direttamente interessati; secondo le norme associative, non esiste un diritto alla sanzione dei membri. I ricorrenti sarebbero quindi privi di legittimazione attiva.
Con ricorso in materia civile i ricorrenti hanno chiesto l'annullamento del lodo, il riconoscimento della qualità di parte nel procedimento disciplinare, ovvero della legittimazione ai sensi dell'art. 47 del Codice TAS; in via subordinata, il rinvio al tribunale arbitrale. Hanno inoltre chiesto la trasmissione degli atti e un'udienza pubblica. La FIFA ha chiesto la reiezione del ricorso.
Diritto
Il ricorso riguarda un arbitrato internazionale con sede a Losanna ed è ammissibile come ricorso in materia civile ai sensi dell'art. 77 cpv. 1 lett. a LTF in relazione con gli art. 190-192 LDIP, poiché i ricorrenti avevano domicilio o sede al di fuori della Svizzera (art. 176 LDIP). Il ricorso è in linea di principio di natura cassatoria; le domande riformatorie sono inammissibili, mentre la domanda subordinata di annullamento e rinvio è ammissibile. Il Tribunale federale esamina soltanto le censure sollevate tempestivamente e nella forma prescritta; la critica appellatoria è inammissibile e gli accertamenti di fatto del tribunale arbitrale vincolano (art. 77 cpv. 3, art. 105 cpv. 1 LTF). La replica non può servire a completare il ricorso.
La domanda di udienza pubblica è respinta, poiché non sussiste un obbligo superiore in tal senso (art. 30 cpv. 3 Cost., art. 6 CEDU, art. 14 Patto ONU II) e il ricorso riguarda questioni giuridiche altamente tecniche senza esame dei fatti (art. 57 LTF); mancano inoltre i presupposti per una deliberazione orale (art. 58 cpv. 1 LTF).
Una censura diretta di violazione della CEDU è inammissibile; i principi dell'art. 6 CEDU possono servire soltanto a concretizzare le garanzie dell'art. 190 cpv. 2 LDIP. L'art. 6 n. 1 CEDU non trova applicazione nel caso di specie, poiché i ricorrenti non sono coinvolti né in pretese di diritto civile né in un'accusa penale. Essi sono semplici denuncianti senza diritto all'apertura di un procedimento disciplinare e non sono direttamente colpiti da una sanzione (DTF 146 III 358 consid. 4.2).
La censura di violazione del diritto di essere sentito (art. 190 cpv. 2 lett. d LDIP) è respinta. Il diritto di essere sentito non comprende un diritto alla motivazione né a una decisione materialmente corretta; il tribunale arbitrale deve soltanto esaminare le questioni decisive e non può omettere, per svista, allegazioni giuridicamente rilevanti (DTF 134 III 186 consid. 6.1; 142 III 360 consid. 4.1.1). Il TAS ha esposto la giurisprudenza determinante sulla legittimazione attiva e ha tenuto conto degli interessi finanziari del ricorrente 1 nonché del diritto di azione collettiva…