Sachverhalt

Der Beschwerdeführer [A.] war ab dem 1. Januar 2005 Direktor der Stiftung [B.] , einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung sogenannt umhüllender Art, nachdem er ab 2004 für [C.] gearbeitet hatte. Er war zudem von 2007 bis 2016 teilzeitlich für die Gesellschaft [D. SA] tätig, die der Caisse Inter-Entreprises de prévoyance professionnelle (CIEPP) angeschlossen war.

Am 26. Mai 2015 zahlte er 43'420 Fr. 30 an die Stiftung [B.] als maximalen Einkauf in Beitragsleistungen. Am 10. November 2015 teilte er der Direktion von [C.] mit, dass er mit Wirkung zum 30. Juni 2016 vorzeitig in den Ruhestand treten wolle.

Am 25. Juli 2016 berechnete die Stiftung eine in Rente umwandelbare Freizügigkeitsleistung von 1'248'086 Fr. 39, wobei sie die am 6. April und 30. Juni 2016 von der CIEPP und von Vorsorgestiftungen 3a (Banque Coop/Banque Cler und PostFinance) überwiesenen Beträge von 482'280 Fr. 20, 37'242 Fr. 67 und 21'609 Fr. 80 berücksichtigte.

Am 3. Januar 2017 stellte die Stiftung fest, dass die Zahlungen vom 15. März, 19. April und 2. Juni 2016 nicht zulässig waren. Am 26. April 2017 stellte sie eine berichtigte Abrechnung aus, reduzierte die Rente und forderte 51'081 Fr. 50 zurück, was der zu viel bezogenen Leistung von Juli 2016 bis April 2017 entspricht. Im Frühjahr 2017 überwies sie 437'589 Fr. 80 an die CIEPP, 37'691 Fr. 42 an die Fondation de prévoyance 3a Banque Cler (am 18. Juli 2017 mangels Weisungen zurücküberwiesen) und 21'837 Fr. 51 an die Fondation 3a PostFinance.

Mit Klage vom 20. Dezember 2017, geändert am 30. November 2018, belangte der Beschwerdeführer das Kantonsgericht des Kantons Waadt, Sozialversicherungskammer, auf Zahlung der gesetzlichen und reglementarischen Leistungen, berechnet auf dem Altersguthaben per 30. Juni 2016, eventualiter auf Feststellung einer Rückerstattungspflicht nach Ermessen eines Experten. Die Stiftung beantragte Abweisung und widerklageweise die Rückerstattung von 51'081 Fr. 50. An einer Instruktionsverhandlung vom 13. März 2019 wurden die Parteien und zwei Sachbearbeiter der Stiftung angehört.

Mit Urteil vom 18. Oktober 2019 wies das Kantonsgericht die Klage ab, ordnete an, dass die Stiftung 37'242 Fr. 67 zuzüglich Zinsen an die Fondation 3a Banque Cler zu überweisen habe, hiess die Widerklage teilweise gut, verpflichtete den Beschwerdeführer zur Rückerstattung von 51'081 Fr. 50 und ordnete die Überweisung dieses Betrags an die CIEPP an.

Der Beschwerdeführer erhebt beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt hauptsächlich die Gültigkeit der Einkäufe vom 19. April und 2. Juni 2016, eventualiter die Rückweisung der Sache. Die Stiftung beantragt Abweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen

Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an, überprüft die Sachverhaltsfeststellungen jedoch nur, wenn sie offensichtlich unrichtig (willkürlich) oder rechtsverletzend erfolgt sind (Art. 105 Abs. 1, Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Appellatorische Kritik ist unzulässig, und Beweismittel, die nach dem kantonalen Urteil entstanden sind, werden nicht berücksichtigt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Die Auslegung eines privatrechtlichen Vorsorgereglements erfolgt nach den allgemeinen Vertragsregeln (Art. 18 Abs. 1 OR), wobei zuerst der tatsächliche übereinstimmende Wille, danach der Vertrauensgrundsatz und subsidiär die Regel der mehrdeutigen Klausel zu ermitteln sind.

In der Sache erlaubt Art. 13 Abs. 2 BVG einen vorzeitigen Altersrücktritt ab 58 Jahren, und Art. 1b BVV 2 gestattet zusätzliche Einkäufe zur Kompensation der Leistungskürzung, sofern die Leistungen im Fall des Verzichts auf den vorzeitigen Altersrücktritt den reglementarischen Zielwert nicht um mehr als 5 % übersteigen. Das Reglement der Stiftung (Art. 5 Ziff. 1 und Art. 16 Abs. 6) macht diese Einzahlungen von einem schriftlichen Gesuch der versicherten Person und einer Genehmigung der Stiftung abhängig. Diese Einkäufe müssen im Voraus nach schematischen und objektiven Kriterien festgelegt werden; die Einrichtung hat ihren Vorsorgeplan a priori so zu konzipieren, dass die Grenze von 5 % eingehalten wird.

Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) wurde nicht verletzt: Die Stiftung hatte bereits in ihren Eingaben geltend gemacht, die Zahlungen seien unzulässig, weshalb der Beschwerdeführer damit rechnen musste, dass die Nichtigkeit geprüft wird, zumal das Gericht das Recht von Amtes wegen anwenden kann (jura novit curia). Die in diesem Zusammenhang neu eingereichten Unterlagen sind unzulässig.

Das Erfordernis eines schriftlichen Gesuchs ist weder eine blosse Ordnungsvorschrift noch eine mehrdeutige oder ungewöhnliche Klausel: Es erlaubt der Stiftung, die Übereinstimmung der Einkäufe mit den zwingenden gesetzlichen und reglementarischen Vorgaben a priori zu überprüfen. Die Sachbearbeiter hatten im Übrigen angegeben, dass der versicherten Person ein Fragebogen zur Abklärung des Einkaufspotenzials abgegeben werde. Die Stiftung verfügte…