En Fait
[H.], née en 1948, a travaillé depuis 1991 en tant que responsable de la succursale de la SA X. En janvier 2006, l'employeur a conclu avec elle un accord selon lequel la relation de travail prendrait fin à la fin avril 2006 en raison de la fermeture de la succursale et que l'employée recevrait en mai une "prime spéciale" équivalant à 6 mois de salaire.
Le 8 août 2006, [H.] a demandé des indemnités de chômage. Le 26 septembre 2006, [H.] a subi une rupture d'anévrisme avec hémorragie cérébrale et était par la suite incapable de travailler à 100 %. L'office AI de Bâle-Campagne a accordé à [H.] une demi-rente d'invalidité avec effet au 1er septembre 2007 par décision du 2 octobre 2008 et une rente aux trois-quarts à partir du 1er novembre 2008 par décision du 6 octobre 2011.
Par plainte du 24 mai 2012, [H.] a demandé que la Fondation institution supplétive LPP soit tenue de lui verser des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Le Tribunal administratif du canton de Berne a rejeté la plainte.
En Droit
Le Tribunal fédéral a décidé que [H.] remplissait toutes les conditions pour percevoir des indemnités de chômage selon l'art. 8 LACI au moment de sa maladie le 26 septembre 2006. Ce qui est décisif, c'est le début des jours indemnisables, pas le moment du paiement effectif des indemnités journalières. Étant donné que [H.] était au chômage et apte au placement lors de son inscription en août 2006 et qu'elle remplissait les…