Fatti
La [X. AG] , una società immobiliare svizzera, è stata costituita il 5 giugno 2007. Il capitale azionario di Fr. 100'000.-- è stato liberato per Fr. 90'000.-- da Z.b[.] , dopo che suo padre Z.c[.] , una persona all'estero, aveva versato Fr. 68'000.-- sul conto di Z.b[.] il giorno precedente. I coniugi Z.a[.] e Z.b[.] possedevano fondi liquidi per circa Fr. 345'000.-- e un immobile non gravato con un valore catastale di Fr. 1'437'700.--. Tuttavia, avevano anche debiti per prestiti nei confronti di Z.c[.] di circa Fr. 739'000.--. La [X. AG] ha acquistato un immobile a febbraio 2008 al prezzo di Fr. 1'866'600.--, finanziato da un credito della banca [B.] , garantito da un'ipoteca sulla proprietà privata della coppia.
Il reggente del distretto di Hochdorf e Lucerna ha stabilito che la partecipazione finanziaria di Z.c[.] alla costituzione della [X. AG] era soggetta all'obbligo di autorizzazione e ha negato l'autorizzazione. Il tribunale amministrativo del cantone di Lucerna ha respinto il ricorso della [X. AG] .
Legge
Il Tribunale federale ha esaminato se la costituzione della [X. AG] e l'acquisto dell'immobile erano soggetti all'obbligo di autorizzazione. Ha stabilito che la [X. AG] era una società immobiliare non quotata in borsa ai sensi dell'art. 4 cpv. 1 lett. e LAFE e che Z.c[.] era una persona all'estero ai sensi della legge, ma non era azionista della [X. AG] .
Il Tribunale federale ha deciso che la finanziamento estero dell'acquisto dell'immobile non rientra in generale nell'obbligo di autorizzazione, a meno che gli accordi, l'importo dei prestiti o le condizioni patrimoniali del debitore non mettano l'acquirente o il costruttore in una dipendenza particolare dal creditore. Ha stabilito che il limite di indipendenza di due terzi del valore di vendita…