Fatti
Il Ministero pubblico del Cantone di Basilea Città ha condotto un'istruttoria penale contro la ricorrente ([A.] ) per sospetto di coazione, violazione della pace pubblica, violazione di domicilio, danneggiamento e ostacolo a pubblico ufficiale. Le veniva rimproverato di aver circondato, l'8 luglio 2019, poco dopo le 06.00, insieme ad altre persone, l'edificio UBS presso la St. Alban-Anlage a Basilea, nell'ambito delle giornate d'azione per il clima ('Collective Climate Justice'). Sarebbero stati applicati slogan con pezzi di carbone, coperte le telecamere di sorveglianza e bloccati gli ingressi con barricate di legno e cumuli di carbone.
Dopo un'ammonizione da parte della Polizia cantonale, diversi attivisti hanno lasciato l'area tra le 14.00 e le 14.05. La ricorrente e altre persone sono rimaste sul posto nonostante l'invito, sono state portate via e provvisoriamente arrestate. La ricorrente non aveva con sé la carta d'identità, ma ha comunicato il proprio nome.
Il Ministero pubblico ha emesso l'8 luglio 2019 un ordine di segnalamento segnaletico (impronte digitali, fotografie) e di prelievo non invasivo (striscio della mucosa della guancia) e il 9 luglio 2019 ha disposto l'allestimento di un profilo DNA. La Corte d'appello del Cantone di Basilea Città (giudice unico), con decisione del 20 marzo 2020 (BES.2019.161), ha annullato la decisione DNA del 9 luglio 2019 e ha incaricato il Ministero pubblico di cancellare il profilo DNA. Il ricorso contro la decisione di segnalamento dell'8 luglio 2019 è stato respinto.
La ricorrente ha proposto ricorso in materia penale (1B_287/2020) chiedendo l'annullamento integrale dell'ordine di segnalamento per quanto riguarda le impronte digitali, in via subordinata l'accertamento dell'illegittimità, nonché la distruzione delle impronte digitali e la cancellazione di eventuali registrazioni in banche dati. Il Ministero pubblico ha a sua volta proposto ricorso (1B_293/2020) chiedendo l'annullamento della decisione dell'istanza precedente relativa al profilo DNA e l'accertamento della legittimità della decisione DNA. L'effetto sospensivo è stato concesso con ordinanza presidenziale del 30 giugno 2020.
Oggetto della controversia era l'ammissibilità del segnalamento segnaletico (impronte digitali) e dell'allestimento del profilo DNA, che non servivano a chiarire l'istruttoria penale in corso, bensì a identificare gli autori di reati futuri o di altri reati.
Diritto
I procedimenti 1B_287/2020 e 1B_293/2020 sono stati riuniti, poiché riguardano la medesima decisione e sollevano le stesse questioni giuridiche. La decisione impugnata del giudice unico è impugnabile come decisione finale ai sensi dell'art. 90 LTF, poiché le misure coercitive hanno un significato autonomo che va oltre il procedimento penale (art. 78 cpv. 1, art. 80 LTF). La ricorrente, in quanto destinataria delle misure, è legittimata ai sensi dell'art. 81 cpv. 1 LTF. La legittimazione del Ministero pubblico nel procedimento 1B_293/2020 è stata lasciata aperta, poiché l'allestimento del profilo DNA è comunque inidoneo e sproporzionato. Il ricorso del Ministero pubblico è ammissibile solo nella misura in cui è stato proposto dalla direzione (Primo procuratore pubblico) (§ 95 GOG/BS; art. 81 cpv. 1 lett. b n. 3 LTF). Le censure di accertamento dei fatti manifestamente errato non devono essere esaminate, in mancanza di una motivazione sostanziata (art. 97 cpv. 1, art. 105 LTF).
Il prelievo di campioni e l'allestimento del profilo DNA, come pure il segnalamento segnaletico, possono essere disposti secondo l'art. 255 cpv. 1 lett. a CPP, l'art. 259 CPP in combinato disposto con l'art. 1 cpv. 2 lett. a della legge sui profili del DNA e l'art. 260 cpv. 1 CPP, anche per identificare autori di reati passati o futuri ignoti. Un prelievo invasivo o un segnalamento segnaletico di routine non sono tuttavia ammissibili. Le misure incidono lievemente sull'integrità fisica (art. 10 cpv. 2 Cost.) e sull'autodeterminazione informativa (art. 13 cpv. 2 Cost., art. 8 CEDU) e devono essere previste dalla legge, giustificate da un interesse pubblico, proporzionate, fondate su un sospetto sufficiente, sussidiarie e riferite a un reato di una certa gravità, secondo l'art. 36 Cost. nonché l'art. 197 cpv. 1 CPP.
Quanto all'idoneità a chiarire il fatto che ha dato origine al procedimento, il Tribunale federale ha ritenuto inidoneo l'allestimento del profilo DNA, poiché la presenza della ricorrente era accertata a seguito del fermo in flagranza e non è stato assicurato alcun DNA su oggetti danneggiati, con la conseguenza che non potevano essere attribuiti contributi individuali al fatto. Anche le impronte digitali erano inidonee, poiché sugli oggetti danneggiati non sono state assicurate impronte; un confronto di tracce non era quindi possibile. L'argomentazione dell'istanza precedente, secondo cui la polizia avrebbe potuto trattare il 'nucleo recalcitrante', non convince, poiché un prelievo di routine è inammissibile. Anche l'argomento dell'accertamento dell'identità non regge, poiché la ricorrente aveva indicato il proprio nome e la sua identità era verificabile.
Riguardo all'ammissibilità in vista di eventuali altri reati, secondo la…