Sachverhalt
Der 1996 geborene Versicherte absolvierte eine Lehre als Produktionsmechaniker EFZ (12. August 2013 bis 11. August 2016). Im Dezember 2016 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zur Früherfassung an, unter Hinweis auf eine paranoide Schizophrenie (Erstpsychose) und einen Klinikaufenthalt in der Klinik [C.] seit 5. Dezember 2016.
Die IV-Stelle Schwyz sprach dem Versicherten für ein Aufbautraining bei der [D.] Stiftung (ursprünglich 16. August 2018 bis 15. Februar 2019, verlängert bis 15. August 2019) Kostengutsprache sowie Taggelder zu. Nach einer erneuten Hospitalisierung (16. bis 25. Juli 2019) wurde die Massnahme per 16. Juli 2019 abgebrochen. Die Taggelder wurden bis zu diesem Datum ausgerichtet.
Mit Mitteilung vom 27. November 2019 gewährte die IV-Stelle erneut Kostengutsprache für ein Aufbautraining in der Stiftung [E.] (25. November 2019 bis 24. Mai 2020) samt Taggeldern.
Mit Verfügung vom 13. Januar 2021 sprach die IV-Stelle nach Vorbescheidverfahren eine ganze Invalidenrente ab 1. Mai 2020 zu. Der Versicherte verlangte im Beschwerdeverfahren eine Rente ab 1. November 2017. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz wies die Beschwerde mit Entscheid vom 17. Mai 2021 ab.
Vor Bundesgericht beantragte der Versicherte die Aufhebung des kantonalen Entscheids und die Ausrichtung der Rente ab 1. November 2017. Die IV-Stelle schloss auf Abweisung; das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtete auf eine Vernehmlassung.
Streitgegenstand ist allein der Beginn des Rentenanspruchs (1. Mai 2020 gemäss Vorinstanz und IV-Stelle; 1. November 2017 gemäss Versicherten).
Erwägungen
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach Art. 95 und 96 BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft aber nur gerügte Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) und legt den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), sofern nicht eine Ausnahme nach Art. 105 Abs. 2 BGG greift.
Nach Art. 28 Abs. 1 IVG besteht ein Rentenanspruch, wenn die versicherte Person ihre Erwerbsfähigkeit nicht durch zumutbare Eingliederungsmassnahmen wiederherstellen, erhalten oder verbessern kann, während eines Jahres mindestens 40 % arbeitsunfähig war und danach mindestens 40 % invalid ist. Gemäss Art. 29 IVG entsteht der Anspruch frühestens sechs Monate nach Geltendmachung, und nicht solange ein Taggeld nach Art. 22 IVG bezogen werden kann.
Die Vorinstanz stellte fest, dass die Klinikberichte vom 23. Januar und 27. März 2017 sowie das Gutachten von Dr. med. [F.] vom 11. April 2018 die Eingliederungsfähigkeit des Versicherten belegen und berufliche Massnahmen dringend indiziert seien. Die IV-Stelle durfte daher zu Recht von der Eingliederungsfähigkeit ausgehen und das Ende des zweiten Aufbautrainings als massgebend für den Rentenbeginn betrachten.
Das Bundesgericht hält am Grundsatz 'Eingliederung vor Rente' fest: Ist eine Eingliederung voraussichtlich möglich, muss zuerst eine Massnahme angeordnet werden. Eine Rente kann vor Abschluss von Eingliederungsmassnahmen (allenfalls rückwirkend) nur zugesprochen werden, wenn die versicherte Person wegen ihres Gesundheitszustands nicht oder noch nicht eingliederungsfähig war (BGE 121 V 190). Dies gilt auch für Integrationsmassnahmen (Art. 8 Abs. 3 lit. abis und Art. 14a IVG sowie Art. 4quater ff. IVV) und selbst dann, wenn die Massnahmen nur einen Teilerfolg bringen oder scheitern. Anders ist es nur bei Abklärungsmassnahmen, die ergeben, dass keine Eingliederungsfähigkeit besteht.
Die beiden Aufbautrainings (16. August 2018 bis 16. Juli 2019 und 25.…