Sachverhalt
Der Erblasser [C.] (Jahrgang 1940, ledig) verstarb am 4. Juli 2019. Am 8. Mai 2019 liess er eine öffentliche letztwillige Verfügung beurkunden. Darin bezeichnete er [A.] , [D.] und [B.] als seine voraussichtlichen gesetzlichen Erben bzw. Nachkommen, setzte sie zu je einem Viertel als Erben ein und bestimmte für die frei verfügbare Quote seinen Neffen [E.] als Erben, da dieser ein guter Gefährte gewesen sei.
Das Zivilstandsregister verzeichnete weder die Genannten als Kinder des Erblassers noch den Erblasser als Vater. Das Zivilstandsamt Solothurn hielt auf Anfrage des Erbschaftsamts fest, der Erblasser sei nicht rechtlicher, vermutlich aber biologischer Vater. Er habe lediglich seine Unterhaltspflicht anerkannt, nicht jedoch die Vaterschaft (altrechtlich sog. Zahlvaterschaft). Im Testament fehle eine klare Anerkennungserklärung.
Die Beschwerdeführer [A.] und [B.] (vertreten durch Rechtsanwalt Prof. Dr. Paul Eitel) beantragten am 30. April 2020 die Feststellung, dass der Erblasser sie in der Verfügung vom 8. Mai 2019 als Kinder anerkannt habe, und die entsprechende Eintragung im Zivilstandsregister. Das Zivilstandsamt Solothurn wies das Gesuch mit Verfügung vom 13. Juli 2020 ab und qualifizierte das Testament als reine Erbeinsetzung. Das Volkswirtschaftsdepartement und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wiesen die Beschwerden ab (Entscheid vom 9. November 2020; Urteil vom 8. Juli 2021, VWBES.2020.459).
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. August 2021 beantragten die Beschwerdeführer die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils und die Eintragung der Kindesanerkennung. Das Bundesgericht holte die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen ein.
Streitgegenstand war die Eintragung einer testamentarischen Kindesanerkennung (Art. 260 Abs. 3 ZGB) im Zivilstandsregister. Die Beschwerdeführer rügten insbesondere eine Verletzung von Art. 260 Abs. 3 ZGB, eine fehlerhafte Testamentsauslegung (Eindeutigkeits- und Andeutungsregel gemäss Art. 500 ff. ZGB) und machten eventualiter einen hypothetischen Erblasserwillen geltend.
Erwägungen
Das Bundesgericht trat auf die Beschwerde in Zivilsachen ein. Es handelt sich um eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2 BGG), gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid (Art. 75, 90 BGG), der den Beschwerdeführern nachteilig ist (Art. 76 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde wurde fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 BGG).
Nach Art. 260 Abs. 3 ZGB kann die Anerkennung durch letztwillige Verfügung erfolgen. Der Gesetzeswortlaut verlangt keine ausdrückliche Anerkennung. Rechtsprechung (BGE 108 II 527 E. 2b) und Lehre fordern jedoch eine deutliche bzw. eindeutige Willensäusserung des Erblassers, aus dem Wortlaut des Testaments klar hervorgehend. Das Gericht hält diese Anforderung für aus Sicht der Registerbehörden gerechtfertigt, weil Berichtigungen von Zivilstandsregistern nur bei offensichtlichen Versehen oder Irrtümern (Art. 43 ZGB) durch Behörden zulässig sind, während bei streitigen oder unklaren Fällen das Gericht entscheidet (Art. 42 ZGB). Das Bundesgericht verwies auf BGE 108 II 88 E. 5, wo die Löschung einer auf unklarer Anerkennung beruhenden Eintragung angeordnet und das Kind auf den Klageweg verwiesen wurde.
Das Testament vom 8. Mai 2019 ist zumindest unklar und auslegungsbedürftig, da der Erblasser…