Sachverhalt
Die Parteien sind die unverheirateten Eltern der 2017 geborenen Tochter [C.] . Die Mutter (Beschwerdeführerin) lebt seit März 2019 getrennt vom Vater (Beschwerdegegner). Mit Entscheid vom 10. Juli 2019 regelte die KESB Luzern-Land die Folgen der Trennung: Die gemeinsame elterliche Sorge wurde belassen, eine alternierende Obhut angeordnet, der Wohnsitz des Kindes bei der Mutter festgelegt und eine Beistandschaft im Sinne von Art. 308 Abs. 2 ZGB errichtet.
Die Mutter focht diesen Entscheid an. Mit Urteil vom 2. März 2021 (3H 19 52) bestätigte das Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, die gemeinsame Sorge, ordnete eine alternierende Obhut je zur Hälfte an (Mutter von Montag bis Mittwoch 11:30 Uhr sowie von Freitag 18 Uhr bis Sonntagabend, jedes zweite Wochenende ausgenommen; Vater von Mittwoch 11:30 Uhr bis Freitag 18 Uhr sowie jedes zweite Wochenende; Schulferien und Feiertage je zur Hälfte), legte den Wohnsitz des Kindes beim Vater fest und umschrieb die Aufgaben der Beiständin.
Die Mutter erhob am 23. April 2021 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht und verlangte die aufschiebende Wirkung. Sie focht die Zuweisung des Wohnsitzes und die ihr auferlegten oberinstanzlichen Gerichtskosten an.
Das Kantonsgericht begründete die Wohnsitzfestlegung beim Vater damit, dass die Mutter ohne Verständigung des Vaters von [U.] nach [V.] gezogen sei, das Kind in der Kita in [U.] abgemeldet und in [V.] in Schule und Kita angemeldet habe, womit sie den Vater vor vollendete Tatsachen gestellt habe. Der Vater sei aus Gründen der Betreuungssicherung ebenfalls nach [V.] gezogen, habe seine Arbeitsstelle gewechselt, um auf 80 % zu reduzieren, und wolle in [V.] bleiben. Die gute aktuelle Betreuungslösung (50/50, nahe beieinander gelegene Wohnungen, Kita und Schule in der Nähe) habe mit dieser Lösung mehr Gewähr für Bestand. Die Mutter habe zudem selbst erklärt, dass das Kind in [V.] die Schulen absolvieren solle. Weitere Überlegungen des Kantonsgerichts betrafen den Klavierunterricht am Donnerstagnachmittag, eine angeblich nicht bewiesene Katzenallergie und den Vergleichsvorschlag vom 5. Januar 2021.
Die Gerichtskosten auferlegte das Kantonsgericht der Mutter mit der Begründung, sie sei mit allen Anträgen unterlegen.
Erwägungen
Das Bundesgericht hält fest, dass es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in einer nicht vermögensrechtlichen Kindessache handelt, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen offensteht (Art. 72 Abs. 1 und Art. 75 Abs. 1 BGG). Die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz sind verbindlich, sofern sie nicht willkürlich sind und das strenge Rügeprinzip eingehalten wird (Art. 105 Abs. 1, Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG); echte Noven sind ausgeschlossen. Zudem müssen Rügen soweit möglich bereits vor der Vorinstanz erhoben worden sein.
Zur Wohnsitzfestlegung führt das Bundesgericht aus, dass der Wohnsitz des Kindes bei alternierender Obhut nach Art. 25 Abs. 1 ZGB, der explizit nur die Alleinobhut regelt, bei Uneinigkeit der Eltern durch das Gericht oder die KESB festzulegen ist, wenn die Obhut ungefähr hälftig aufgeteilt ist. Die Rüge der Mutter, die Betreuung sei nicht genau hälftig (acht zu sechs Nächte über zwei Wochen), geht daher an der Sache vorbei; eine mathematisch exakte Teilung ist nicht erforderlich, und die Nacht von Sonntag auf Montag ist aufgrund des Betreuungsbeginns der Mutter am Montagmorgen sachgerecht zugeordnet.
Das Bundesgericht verneint eine willkürliche Entscheidbegründung. Das Kantonsgericht habe das Kindeswohl als Leitmaxime zum Ausgangspunkt genommen und die alternierende Obhut als im besten Interesse des Kindes beurteilt. Die Begründung stütze sich nicht auf subjektive Eindrücke oder Verschulden, sondern auf erwiesene Tatsachen: das eigenmächtige Umziehen der Mutter nach [V.] und den Nachzug des Vaters, um die alternierende Obhut zu ermöglichen. Dies stelle einen sachlichen und für sich allein hinreichenden Grund dar.
Die Argumente der Mutter, eine gleiche…