En fait
Les recourants sont [A.] , un footballeur de [U.] (recourant 1), et le syndicat des footballeurs [B.] (recourante 2), membre de la FIFPRO depuis 2011. L'intimée est la FIFA, une association de droit suisse dont le siège se trouve à Zurich.
Le 9 décembre 2016, le comité d'urgence de la fédération nationale de football de [U.] (nFA) a modifié la composition de la nFA National Dispute Resolution Chamber (nFA NDRC), a révoqué les arbitres en fonction et a nommé de nouveaux arbitres choisis par la fédération. La FIFPRO a contesté cette décision le 14 décembre 2016. Le 7 février 2017, une réunion réunissant l'UEFA, l'ECA, les European Leagues, la FIFPRO, la nFA et des groupes d'intérêts a eu lieu; à cette occasion, la répartition des six sièges d'arbitres vacants entre joueurs et clubs a été convenue. Le syndicat des joueurs [B.] a alors désigné trois personnes pour la nouvelle liste d'arbitres, dont [C.] .
Le 15 août 2018, [C.] , arbitre unique de la nFA NDRC, a décidé que la résiliation du contrat de travail par le joueur [A.] à l'égard du club [D.] était valable. Le 3 septembre 2018, le président de la nFA NDRC a ordonné un réexamen. Le 4 septembre 2018, un nouvel organe a déclaré la décision nulle et fixé une nouvelle audience principale; le 14 septembre 2018, il a décidé que le joueur n'avait pas résilié le contrat de manière valable. Le joueur, dont l'enregistrement auprès du nouveau club n'a pas été approuvé, s'est retrouvé au chômage. Le 2 novembre 2018, le comité d'urgence a révoqué [C.] .
Les 29 mars et 9 décembre 2019, la FIFPRO et les recourants ont déposé des plaintes auprès de la commission de discipline de la FIFA et ont demandé l'ouverture d'une procédure disciplinaire contre la fédération nationale de football. Le 7 février 2020, la FIFA a communiqué que la FIFPRO, en tant que dénonciatrice, n'était pas partie à la procédure et qu'elle ne disposait pas de légitimation active. Le 26 mars 2020, la commission de discipline a ouvert une procédure contre la nFA, qui a été close le 4 mai 2020. Les recourants n'ont pas été informés, car ils n'étaient pas considérés comme parties. Une demande de motivation a été rejetée le 20 juillet 2020.
Les recourants ont formé auprès du TAS des appels pour déni de justice (CAS 2020/A/6921 et CAS 2020/A/2797, ultérieurement joints). Par sentence arbitrale du 4 octobre 2021, le TAS a rejeté les appels. Il a retenu que la qualité de partie et la légitimation active n'appartenaient qu'aux titulaires du droit litigieux directement touchés; selon les règles de l'association, il n'existe pas de droit à la sanction des membres. Les recourants ne disposaient donc pas de la légitimation active.
Par recours en matière civile, les recourants ont conclu à l'annulation de la sentence arbitrale, à la reconnaissance de la qualité de partie dans la procédure disciplinaire, respectivement de la légitimation au sens de l'art. 47 du Code TAS; à titre subsidiaire, au renvoi à l'arbitre. Ils ont en outre demandé la production du dossier et la tenue d'une audience publique. La FIFA a conclu au rejet du recours.
En droit
Le recours concerne un arbitrage international ayant son siège à Lausanne; le recours en matière civile est recevable selon l'art. 77 al. 1 let. a LTF en liaison avec les art. 190 à 192 LDIP, dès lors que les recourants avaient leur domicile ou siège hors de Suisse (art. 176 LDIP). Le recours est en principe de nature cassatoire; les conclusions réformatoires sont irrecevables, alors que la conclusion subsidiaire tendant à l'annulation et au renvoi est recevable. Le Tribunal fédéral n'examine que les griefs soulevés en temps utile et dans les formes requises; la critique appellatoire est irrecevable et les constatations de fait du tribunal arbitral lient le Tribunal fédéral (art. 77 al. 3, art. 105 al. 1 LTF). La réplique ne peut pas servir à compléter le recours.
La demande de débats publics est rejetée, aucune obligation supérieure n'existant en ce sens (art. 30 al. 3 Cst., art. 6 CEDH, art. 14 Pacte ONU II), et le recours porte sur des questions juridiques très techniques sans examen des faits (art. 57 LTF); les conditions d'une délibération publique (art. 58 al. 1 LTF) ne sont pas non plus réunies.
Un grief directement fondé sur la violation de la CEDH est irrecevable; les principes de l'art. 6 CEDH ne peuvent servir qu'à concrétiser les garanties de l'art. 190 al. 2 LDIP. L'art. 6 par. 1 CEDH n'est pas applicable en l'espèce, les recourants n'étant concernés ni par des droits de caractère civil ni par une accusation en matière pénale. Ils sont de simples dénonciateurs, sans droit à l'ouverture d'une procédure disciplinaire, et ne sont pas directement touchés par une sanction (ATF 146 III 358 consid. 4.2).
Le grief de violation du droit d'être entendu (art. 190 al. 2 let. d LDIP) échoue. Le droit d'être entendu ne comprend pas le droit à une motivation ni à une décision matériellement correcte; le tribunal arbitral doit seulement examiner les questions décisives pour l'issue du litige et ne doit pas omettre, par inadvertance, des moyens juridiquement pertinents (ATF 134 III 186 consid. 6.1; 142 III 360 consid. 4.1.1). Le TAS a exposé la jurisprudence déterminante sur la légitimation active et a tenu compte des intérêts financiers du recourant 1 ainsi que…