En fait

L'assuré, né en 1996, a effectué un apprentissage de mécanicien de production CFC (du 12 août 2013 au 11 août 2016). En décembre 2016, il s'est annoncé à l'assurance-invalidité pour une détection précoce, en faisant état d'une schizophrénie paranoïde (premier épisode psychotique) et d'un séjour à la clinique [C.] depuis le 5 décembre 2016.

L'office AI de Schwyz a accordé à l'assuré une garantie de prise en charge pour un entraînement de réadaptation auprès de la fondation [D.] (initialement du 16 août 2018 au 15 février 2019, prolongé jusqu'au 15 août 2019), ainsi que des indemnités journalières. Après une nouvelle hospitalisation (du 16 au 25 juillet 2019), la mesure a été interrompue au 16 juillet 2019. Les indemnités journalières ont été versées jusqu'à cette date.

Par communication du 27 novembre 2019, l'office AI a à nouveau accordé une garantie de prise en charge pour un entraînement de réadaptation auprès de la fondation [E.] (du 25 novembre 2019 au 24 mai 2020), y compris les indemnités journalières.

Par décision du 13 janvier 2021, rendue après la procédure de pré-décision, l'office AI a octroyé une rente entière d'invalidité à partir du 1er mai 2020. Dans la procédure de recours, l'assuré a demandé une rente dès le 1er novembre 2017. Le Tribunal cantonal de Schwyz a rejeté le recours par jugement du 17 mai 2021.

Devant le Tribunal fédéral, l'assuré a conclu à l'annulation de la décision cantonale et à l'octroi de la rente dès le 1er novembre 2017. L'office AI a conclu au rejet du recours; l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

L'objet du litige porte uniquement sur le début du droit à la rente (1er mai 2020 selon l'instance précédente et l'office AI; 1er novembre 2017 selon l'assuré).

En droit

Le recours en matière de droit public est recevable en vertu des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), mais n'examine que les griefs invoqués (art. 42 al. 1 et 2 LTF) et se fonde sur les faits établis par l'instance précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf si une exception au sens de l'art. 105 al. 2 LTF s'applique.

Selon l'art. 28 al. 1 LAI, le droit à une rente existe lorsque la personne assurée ne peut pas rétablir, maintenir ou améliorer sa capacité de gain par des mesures de réadaptation exigibles, a été incapable de travailler à 40 % au moins pendant une année et reste invalide à 40 % au moins par la suite. Selon l'Art. 29 LPGA, le droit prend naissance au plus tôt six mois après le dépôt de la demande, et non tant qu'une indemnité journalière au sens de l'art. 22 LAI peut être perçue.

L'instance précédente a constaté que les rapports de la clinique des 23 janvier et 27 mars 2017, ainsi que l'expertise du Dr méd. [F.] du 11 avril 2018, démontrent la capacité de réadaptation de l'assuré et que des mesures professionnelles sont fortement indiquées. L'office AI pouvait donc à juste titre admettre la capacité de réadaptation et considérer la fin du second entraînement de réadaptation comme déterminante pour le début de la rente.

Le Tribunal fédéral maintient le principe « la réadaptation avant la rente » : si une réadaptation est vraisemblablement possible, une mesure doit d'abord être ordonnée. Une rente ne peut être accordée avant l'achèvement de mesures de réadaptation (le cas échéant avec effet rétroactif) que si la personne assurée n'était pas ou pas encore capable d'être réadaptée en raison de son état de santé (ATF 121 V 190). Cela vaut également pour les mesures d'intégration (art. 8 al. 3 let. abis et art. 14a LAI ainsi que art. 4quater ss RAI), même lorsque les mesures n'aboutissent qu'à un succès partiel ou échouent. Il en va autrement uniquement pour les mesures d'instruction qui établissent l'absence de capacité de réadaptation.

Les deux entraînements de réadaptation (du 16 août 2018 au 16 juillet 2019 et du 25…