En fait

Parties et instances: Le recourant ([A.] , représenté par Me Peter Nideröst, avocat) occupe une maison individuelle en bande à Zurich. L'intimée ([B. GmbH] , représentée par Me Dr Silvan Hauser, avocat) a acquis l'immeuble le 19 novembre 2019. Les instances précédentes étaient le Tribunal de district de Zurich (juge unique, audience) et la Cour suprême du canton de Zurich, IIe Cour civile.

État de fait: Le 10/19 août 2019, le recourant et l'ancien propriétaire [C.C.] ont conclu un contrat, désigné comme « contrat de prêt à usage », portant sur l'utilisation temporaire de l'immeuble. Il y était indiqué qu'aucun loyer n'était dû et que la mise à disposition était gratuite; le recourant a pris en charge les frais liés à l'usage ainsi que l'entretien courant. Il a toutefois versé mensuellement Fr. 200.--. Dans le contrat de vente du 19 novembre 2019, le contrat de prêt à usage a été transféré à l'intimée conformément à l'art. 261 al. 1 CO. Celle-ci a résilié ordinairement le 30 novembre 2019 pour le 23 décembre 2019 (respectivement, selon interprétation, pour le 30 décembre 2019), puis extraordinairement le 30 décembre 2019 avec effet immédiat.

Procédure: Le 10 janvier 2020, l'intimée a demandé au Tribunal de district l'évacuation dans la procédure de l'art. 257 CPC (protection juridique dans les cas clairs). Il était litigieux de savoir s'il existait un contrat de bail (art. 253 ss CO) ou un prêt à usage (art. 305 ss CO). Le Tribunal de district a admis la requête le 27 février 2020. Le recourant a contesté cette décision le 14 avril 2020 en la qualifiant d'« appel et, subsidiairement, de recours »; la Cour suprême l'a traitée comme un recours, lui a accordé l'effet suspensif et a rejeté le recours le 15 mai 2020. La Cour suprême a d'abord fixé la valeur litigieuse à Fr. 7'200.--, puis à Fr. 1'200.--; le Tribunal de district avait retenu Fr. 5'550.--.

Conclusions devant le Tribunal fédéral: Par recours en matière civile et recours constitutionnel subsidiaire, le recourant a conclu à l'annulation de l'arrêt cantonal et à l'irrecevabilité de la requête d'évacuation, subsidiairement au renvoi. Le 28 mai 2020, le Tribunal fédéral a ordonné à titre provisionnel que les mesures d'exécution soient suspendues. L'intimée a conclu au rejet de la requête d'effet suspensif. Sur le fond, aucune réponse n'a été requise.

En droit

Décision finale et valeur litigieuse (art. 74 al. 1 LTF): L'arrêt cantonal est une décision finale (art. 90 LTF) rendue par une autorité précédente au sens de l'art. 75 LTF. Le recours en matière civile dans les affaires patrimoniales suppose une valeur litigieuse de Fr. 15'000.-- dans les affaires de droit du travail et du bail (let. a), respectivement de Fr. 30'000.-- dans tous les autres cas (let. b). Les parties ne s'accordaient pas sur la valeur litigieuse. Il faut d'abord déterminer s'il s'agit d'une affaire de bail; les litiges relevant du prêt n'en font pas partie. Selon la jurisprudence, il suffit certes que l'existence d'un contrat de bail soit contestée (faits à double pertinence), mais il convient de s'en écarter lorsque l'exposé des faits apparaît d'emblée peu sérieux ou incohérent.

Qualification de prêt à usage: En l'espèce, il n'existe manifestement pas de contrat de bail. Ce qui est déterminant, c'est le caractère onéreux: le prêt à usage est impérativement gratuit (art. 305 CO), alors que le bail est impérativement onéreux (art. 253 CO). Les instances précédentes ont constaté que les parties avaient expressément convenu qu'il n'y avait « pas de loyer » et que la mise à disposition était gratuite. Le versement mensuel de Fr. 200.-- constitue une participation forfaitaire aux frais au sens de l'art. 307 al. 1 CO, qui ne remet pas en cause la gratuité. Les objections du recourant portent sur les faits et ne sont pas suffisamment motivées (art. 105 al. 2 LTF); son grief de violation du droit d'être entendu critique également la constatation des faits. La désignation du contrat et la reprise quasi littérale de l'art. 309 al. 2 CO plaident en outre en faveur d'un prêt à usage.

Valeur litigieuse et exclusion du recours en matière civile: Comme il n'existe pas d'affaire de bail, le seuil général de valeur litigieuse de Fr. 30'000.-- s'applique. Ce seuil n'est pas atteint, quel que soit le mode de calcul. Le calcul initialement invoqué par le recourant (Fr. 200.-- x 12 x 20, selon l'art. 92 al. 2 CPC) n'a plus été maintenu et n'est pas déterminant pour l'intérêt à l'évacuation. Faute d'autres éléments indiquant une valeur plus élevée (art. 51 al. 2 LTF), il convient de s'en tenir à la fixation de l'instance précédente, respectivement aux indications non contestées. Une question juridique de principe (art. 74 al. 2 let. a LTF) n'a pas été démontrée de manière conforme (art. 42 al. 2, 2e phrase LTF): le recourant n'a fait valoir ni incertitude juridique notable ni besoin de clarification. L'argument selon lequel une irrecevabilité entraînerait des désavantages procéduraux ne constitue pas non plus un motif d'exception. Le recours en matière civile est donc irrecevable.

Recours…