En fait

La recourante, [A. SA] , société anonyme du groupe [A.] (environ 3'000 collaborateurs, chiffre d'affaires supérieur à 1 milliard de francs), actif notamment dans la production d'encres de sécurité pour billets de banque, est détenue par [A.] Holding SA, contrôlée par l'intimé [B.] et deux membres de sa famille. L'intimé a été administrateur de la société de 2000 à 2015 et co-chief executive officer depuis le 1er avril 2006.

Le contrat de travail, d'une durée initiale de cinq ans et reconductible, prévoyait un salaire annuel brut de 2'000'000 fr., un bonus ordinaire de 1'500'000 fr. et un bonus additionnel. Sa clause 7.2, intitulée 'Termination', réglait les conséquences d'une résiliation immédiate sans préavis, pour justes motifs au sens de l'art. 337 CO par le travailleur ou sans justes motifs au sens de cette disposition par l'employeur: salaire jusqu'à la fin de la période contractuelle, deux fois le dernier salaire annuel et deux fois le bonus ordinaire moyen des trois dernières années.

Un cadre dirigeant, [E.] , a dû démissionner en 2014 de la présidence non exécutive de [F.] Ltd (anciennement [H.] Ltd), société singapourienne de paiements électroniques, en raison d'un conflit d'intérêts avec les activités du groupe. Lors de la séance du conseil d'administration de [A.] Holding SA du 30 juin 2014, il a été constaté que l'intimé lui avait succédé à la présidence non exécutive de cette société, dont il était actionnaire minoritaire, alors qu'il était lui-même administrateur et dirigeant du groupe.

Entre décembre 2014 et janvier 2015, [F.] Ltd a conclu un contrat d'agence avec [K.] Ltd et annoncé la certification de sa plateforme pour le marché nigérian. L'intimé a participé au World Economic Forum de Davos en qualité de vice-président exécutif de [A.] Holding SA et président de [F.] Ltd, les frais étant pris en charge par la recourante.

Le 18 février 2015, la recourante a licencié l'intimé avec effet immédiat, en invoquant un conflit d'intérêts grave et une violation des devoirs de fidélité et de loyauté d'employé et d'administrateur.

Par jugement du 20 février 2018, la Chambre patrimoniale cantonale vaudoise a retenu que les activités de l'intimé constituaient une violation du devoir de fidélité justifiant une résiliation immédiate, mais que la recourante, ayant connaissance du motif depuis le 30 juin 2014 et ayant attendu plus de sept mois, avait renoncé à s'en prévaloir; le licenciement était donc injustifié. Elle a retenu que les parties avaient valablement convenu du régime de la clause 7.2 et a condamné la recourante à verser 2'774'380 fr. bruts et 7'917'703 fr. nets, avec intérêts à 5% dès le 20 avril 2015. Par arrêt du 7 mars 2019, la Cour d'appel civile vaudoise a rejeté l'appel de la recourante.

La recourante a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant principalement au rejet des prétentions de l'intimé (sous réserve de 161'623 fr. nets à titre de manco de prévoyance), subsidiairement à la suppression du chiffre II du jugement, et plus subsidiairement au renvoi de la cause. L'intimé a conclu au rejet du recours. La requête d'effet suspensif a été rejetée.

En droit

Le Tribunal fédéral constate que le recours en matière civile est recevable, la valeur litigieuse atteignant 15'000 fr. dans une affaire pécuniaire de droit du travail (art. 74 al. 1 let. a LTF) et l'arrêt émanant d'un tribunal supérieur cantonal statuant sur recours (art. 75 LTF). Le recours est conforme aux exigences de forme et de délai. Il rappelle que son examen est limité aux griefs invoqués et motivés (art. 42 al. 2 LTF), qu'il statue sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), et que le principe de l'épuisement des griefs (art. 75 al. 1 LTF) exclut les moyens nouveaux.

S'agissant du premier moyen, fondé sur l'art. 9 Cst. et l'arbitraire dans l'établissement des faits, la recourante soutient que la clause 7.2 du contrat ne viserait que la notion de justes motifs de l'art. 337 CO et non l'exigence d'immédiateté. Le Tribunal fédéral retient que ce grief n'a pas été soulevé devant la cour cantonale et est donc irrecevable. Au demeurant, la recourante avait expressément admis l'allégué 14 de la demande, qui décrivait la clause comme couvrant toute résiliation immédiate injustifiée de l'employeur; elle ne peut revenir sur cet aveu sans avoir allégué et prouvé une volonté commune différente, ce qu'elle n'a pas fait. L'interprétation de la clause retenue par la cour cantonale n'est pas arbitraire.

Sur le second moyen, la recourante reproche une violation de l'art. 337 CO et une application mécanique du principe d'immédiateté. Le Tribunal fédéral rappelle que l'employeur peut résilier immédiatement pour de justes motifs (art. 337 al. 1 et 2 CO), que le juge apprécie librement leur existence (art. 337 al. 3 CO) en tenant compte de la position et de la responsabilité du travailleur, et que la partie qui entend résilier avec effet immédiat doit agir sans tarder dès la connaissance du motif, sous peine de déchéance. Un délai de réflexion de deux à trois jours ouvrables est en principe suffisant, un délai supplémentaire pouvant être admis lorsque la décision relève d'un organe polycéphale ou lorsque les faits nécessitent des éclaircissements, pour autant que l'employeur ait pris immédiatement les mesures nécessaires.

En l'espèce, la cour cantonale a retenu que le délai avait commencé à courir le 30 juin 2014, date à laquelle la recourante savait que l'intimé avait succédé à…